Question

兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：
（1）如圖，△DEF沿線段AB向右平移（即D點在線段AB內(nèi)移動），連接DC、CF、FB，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，但它的面積不變化，請求出其面積．

（2）如圖，當D點移到AB的中點時，請你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由．

（3）如圖，△DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時F點恰好與B點重合，連接AE，請你求出sinα的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得到AD=BE，再結(jié)合兩條平行線間的距離相等，則三角形ACD的面積等于三角形BEF的面積，所以要求的梯形的面積等于三角形ABC的面積．根據(jù)60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的長，從而求得其面積；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平移的性質(zhì)，即可得到該四邊形的四條邊都相等，則它是一個菱形；
（3）過D點作DH⊥AE于H，可以把要求的角構(gòu)造到直角三角形中，根據(jù)三角形ADE的面積的不同計算方法，可以求得DH的長，進而求解．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=60°，AC=1，
∴BC=

3

，
∴S_梯形CDBF=S_△ABC=

3

2

；

（2）菱形．
∵在直角三角形ABC中，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
根據(jù)平移的性質(zhì)得到CF=BD，BF=CD，
∴CF=BD=BF=CD，
∴四邊形CDBF是菱形；

（3）過D點作DH⊥AE于H，則S_△ADE=

1

2

•1•

3

=

3

2

，
又S_△ADE=

1

2

AE•DH=

3

2

，
DH=

3

7

=

21

7

，
∴在Rt△DHE′中，sinα=

DH

DE

=

21

14

．

點評：綜合運用直角三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)進行分析計算，考查學生綜合運用數(shù)學知識的能力．