Question

如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以
2cm/秒的速度，沿矩形的邊A-B-C-D回到點(diǎn)A，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=3秒時(shí)，求△ABP的面積；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離為5cm？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)（2＜t＜5），以線段AD、CP、AP的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，且AP是斜邊．

Answer 1

分析：（1）求出P運(yùn)動(dòng)的距離，得出O在BC上，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）分為三種情況：P在BC上，P在DC上，P在AD上，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于t的方程，求出即可；
（3）求出BP=2t-4，CP=10-2t，根據(jù)AP²=AB²+BP²=4²+（2t-4）²和AD²+CP²=AP²得出方程6²+（10-2t）²=4²+（2t-4）²，求出方程的解即可．

解答：解：（1）
當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)P的路程為2×3=6cm，
∵AB=4cm，BC=6cm
∴點(diǎn)P在BC上，
∴S△ABP=

1

2

AB•BP=4（cm²）．

（2）
（Ⅰ）若點(diǎn)P在BC上，
∵在Rt△ABP中，AP=5，AB=4
∴BP=2t-4=3，
∴t=

7

2

；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在DC上，
則在Rt△ADP中，AP是斜邊，
∵AD=6，
∴AP＞6，
∴AP≠5；
（Ⅲ）若點(diǎn)P在AD上，
AP=5，
則點(diǎn)P的路程為20-5=15，
∴t=

15

2

，
綜上，當(dāng)t=

7

2

秒或t=

15

2

時(shí)，AP=5cm．

（3）當(dāng)2＜t＜5時(shí)，點(diǎn)P在BC邊上，
∵BP=2t-4，CP=10-2t，
∴AP²=AB²+BP²=4²+（2t-4）²
由題意，有AD²+CP²=AP²
∴6²+（10-2t）²=4²+（2t-4）²
∴t=

13

4

＜5，
即t=

13

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積公式，勾股定理，矩形性質(zhì)的應(yīng)用，注意要進(jìn)行分類討論．