Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點D、E在BC上，且∠DAE=45°，現(xiàn)將△ACE繞點A旋轉至△ABE′處，連接DE′和EE′，則下列結論中 ①AB⊥DE′②∠ADE=∠BAE ③△AEE′是等腰直角三角形   ④AD⊥EE′⑤BD²+CE²=DE²正確的有（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：（1）由外角的性質和題意可推出∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠BAE=∠DAE+∠BAD，再由等腰直角三角形的性質可知∠ABD=∠C=45°，即可推出∠ADE=∠BAE；（2）由旋轉的性質可知AE=AE′，∠EAC=∠DAE′，再由∠EAC+∠BAE=90°，可知∠EAE′=90°，即可推出△AEE′是等腰直角三角形；（3）由∠DAE=45°，∠BAC=90°，可知∠EAC+∠BAD=45°，又因為∠EAC=∠BAE′，推出∠DAE′=∠EAD=45°，即得AD⊥EE′；（4）因為∠C=∠E′BA=∠ABD=45°，可求出△E′BD為直角三角形，再由EC=E′B，根據(jù)勾股定理，通過等量代換即可推出BD²+CE²=DE²．

解答：解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠C=45°，
∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠BAE=∠DAE+∠BAD，
∵∠DAE=45°，
∴∠ADE=∠BAE；
（2）∵△ACE繞點A旋轉至△ABE′處，
∴AE=AE′，∠EAC=∠DAE′，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAC+∠BAE=90°，
∴∠DAE′+∠BAE=90°，
∴△AEE′是等腰直角三角形；
（3）∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，
∴∠EAC+∠BAD=45°，
∵∠EAC=∠BAE′，
∴∠DAE′=∠EAD=45°，
∵△AEE′是等腰直角三角形，
∴AD⊥EE′，
（4）∵∠C=∠E′BA=∠ABD=45°，
∴∠E′BD=90°，
∵EC=E′B，
∴BD²+CE²=DE²，
∴②③④⑤項正確．
故選D．

點評：本題主要考查旋轉的性質、勾股定理、等腰直角三角形等相關的性質定理，關鍵在于逐項分析解答，正確的運用相關的性質定理進行分析．