Question

問題探索：
（1）已知一個(gè)正分?jǐn)?shù)

n

m

（m＞n＞0），如果分子、分母同時(shí)增加1，分?jǐn)?shù)的值是增大還是減��？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（2）若正分?jǐn)?shù)

n

m

（m＞n＞0）中分子和分母同時(shí)增加2，3…k（整數(shù)k＞0），情況如何？
（3）請(qǐng)你用上面的結(jié)論解釋下面的問題：
建筑學(xué)規(guī)定：民用住宅窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好，問同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好還是變壞？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）使用作差法，對(duì)兩個(gè)分式求差，有

n

m

-

n+1

m+1

=

n-m

m(m+1)

，由差的符號(hào)來(lái)判斷兩個(gè)分式的大�。�
（2）由（1）的結(jié)論，將1換為k，易得答案，
（3）由（2）的結(jié)論，可得一個(gè)真分?jǐn)?shù)，分子分母增大相同的數(shù)，則這個(gè)分?jǐn)?shù)整體增大；結(jié)合實(shí)際情況判斷，可得結(jié)論．

解答：解：（1）

n

m

＜

n+1

m+1

（m＞n＞0）
證明：∵

n

m

-

n+1

m+1

=

n-m

m(m+1)

，
又∵m＞n＞0，
∴

n-m

m(m+1)

＜0，
∴

n

m

＜

n+1

m+1

．

（2）根據(jù)（1）的方法，將1換為k，有

n

m

＜

n+k

m+k

（m＞n＞0，k＞0）．

（3）設(shè)原來(lái)的地板面積和窗戶面積分別為x、y，增加面積為a，
由（2）的結(jié)論，可得一個(gè)真分?jǐn)?shù)，分子分母增大相同的數(shù)，則這個(gè)分?jǐn)?shù)整體增大；
則可得：

y+a

x+a

＞

y

x

，
所以住宅的采光條件變好了．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分式的性質(zhì)與運(yùn)算，涉及分式比較大小的方法（做差法），并要求學(xué)生對(duì)得到的結(jié)論靈活運(yùn)用．