Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是邊BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③四邊形AEPF的面積=△ABC的面積的一半，④當(dāng)EF最短時(shí)，EF=AP，上述結(jié)論始終正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAP=∠C=45°，AP=CP，根據(jù)等角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角邊角”證明△AEP和△CPF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=CF，PE=PF，全等三角形的面積相等求出S四邊形AEPF=S△APC，然后解答即可．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．

∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP．

∵∠EPF是直角，∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，∴∠APE=∠CPF．

在△AEP和△CPF中，∵，∴△AEP≌△CPF（ASA），∴AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，∴S四邊形AEPF=S△APC，∴S四邊形AEPF=S△ABC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，EF=PE，所以，EF隨著點(diǎn)E的變化而變化，只有當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，EF=PE=AP，此時(shí)，EF最短；故①②③④正確．

故選D．