Question

【題目】設a，b，c為互不相等的實數，且滿足關系式：b2+c2＝2a2+16a+14①bc＝a2﹣4a﹣5②．求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】a的取值范圍為a＞﹣1且且．

【解析】

先通過代數式變形得（b+c）2=2a2+16a+14+2（a2-4a-5）=4a2+8a+4=4（a+1）2，即有b+c=±2（a+1）．有了b+c與bc，就可以把b，c可作為一元二次方程x2±2（a+1）x+a2-4a-5=0③的兩個不相等實數根，由△=4（a+1）2-4（a2-4a-5）=24a+24＞0，得到a＞-1．再排除a=b和a=c時的a的值．先設a=b和a=c，分別代入方程③，求得a的值，則題目要求的a的取值范圍應該是在a＞-1的前提下排除求得的a值．

∵b2+c2＝2a2+16a+14，bc＝a2﹣4a﹣5，

∴（b+c）2＝2a2+16a+14+2（a2﹣4a﹣5）＝4a2+8a+4＝4（a+1）2，

即有b+c＝±2（a+1）．

又bc＝a2﹣4a﹣5，

所以b，c可作為一元二次方程x2±2（a+1）x+a2﹣4a﹣5＝0③的兩個不相等實數根，

故△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣4a﹣5）＝24a+24＞0，

解得a＞﹣1．

若當a＝b時，那么a也是方程③的解，

∴a2±2（a+1）a+a2﹣4a﹣5＝0，

即4a2﹣2a﹣5＝0或﹣6a﹣5＝0，

解得，或．

當a＝c時，同理可得或．

所以a的取值范圍為a＞﹣1且且．