Question

已知拋物線(xiàn)y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的最低點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是3，直線(xiàn)y=mx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB的解析式．
（2）將直線(xiàn)AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，求sin∠BDE的值．
（3）過(guò)B點(diǎn)作x軸的平行線(xiàn)BG，點(diǎn)M在直線(xiàn)BG上，且到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的距離為6，設(shè)點(diǎn)N在直線(xiàn)BG上，請(qǐng)你直接寫(xiě)出使得∠AMB+∠ANB=45°的點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸x=-=1．
∵拋物線(xiàn)y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²的最低點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是3
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A（1，3）
∴m2-5m+6=0，
∴m=3或m=2，
∵3-m＞0，
∴m＜3
∴m=2，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²-2x+4，
直線(xiàn)為y=2x+b．
∵直線(xiàn)y=mx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，3）
∴3=2+b，
∴b=1．
∴直線(xiàn)AB為：y=2x+1；

（2）令x=0，則y=1，）令y=0，則x=-，
∴B（0，1），C（-，0）
將直線(xiàn)AB繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90⁰，設(shè)DE與BC交于點(diǎn)F
∴D（1，0），E（0，），∠CFD=90°，
∴OB=OD=1 OC=，∴CD=
在Rt△BOC中，由勾股定理，得
CB=，BD=．
∵CD•OB=CB•DF，
∴DF=，
∴由勾股定理，得
BF=，
∴Sin∠BDE===；

（3）如圖2，在BG上取一點(diǎn)Q，使AP=QP，
∴∠AQP=45°．
∴∠ANB+∠QAN=∠QAM+∠AMB=45°．
∵∠AMB+∠ANB=45°，
∴∠ANB=∠QAM，
∴△AQN∽△MQA，
∴．
∵AD=3，OD=1，
∴AP=QP=2，
∴QM=4，AQ=2，
∵M(jìn)P=6，
∴MQ=4．
∴，
∴QN=2，
∴BN=5．
∴N（5，1）；
如圖3，在BG上取一點(diǎn)Q，使AP=QP，
∴∠AQP=45°．
∴∠ANB+∠AMB=∠QAM+∠AMB=45°．
∴∠ANB=∠QAM，
∴△AQM∽△NAM，
∴．
∵AD=3，OD=1，
∴AP=QP=2，
∴QM=4，BM=7，AQ=2，
∵M(jìn)P=6，
∴MQ=4．AM=2，
∴，
∴MN=10，
∴BN=3．
∴N（-3，1）；
∴N（-3，1）或（5，1）．
分析：（1）先由y=（3-m）x²+2（m-3）x+4m-m²可以求出拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，就可以求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式就可以求出m的值，將A的坐標(biāo)及m的值代入一次函數(shù)的解析式就可以求出結(jié)論；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以求出D、E的坐標(biāo)，由勾股定理就可以求出BD，DE、DF的值根據(jù)求銳角三角函數(shù)的方法就可以求出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分情況討論運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)尋找解答本題的突破口從拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)入手，求N的坐標(biāo)運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．