Question

如圖，有一塊含30°的直角三角板OAB的直角邊長BO的長恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長相等，把該套三角板放置在平面直角坐標系中，且．
（1）若雙曲線的一個分支恰好經過點A，求雙曲線的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板繞點O按順時針方向旋轉后，斜邊OA恰好與x軸重疊，點A落在點A′，試求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據tan30°=，求出AB，進而求出OA，得出A的坐標，設過A的雙曲線的解析式是y=，把A的坐標代入求出即可；
（2）求出∠AOA′，根據扇形的面積公式求出扇形AOA′的面積，求出OD、DC長，求出△ODC的面積，相減即可求出答案．
解答：（1）解：∵∠ABO=90°，OB=3，∠AOB=30°，
∴tan30°=，
∴AB=3，
∴OA=2AB=6，
∴A的坐標是（3，3），
設過A的雙曲線的解析式是y=，
把A的坐標代入得：k=9，
∴雙曲線的解析式是y=．

（2）解：∵∠AOA′=90°-30°=60°，OA=6，
∴扇形AOA′的面積是：=6π，
∵△DOC是等腰直角三角形，OC=3，
∴sin45°=，
∴DC=OD=，
∴△ODC的面積是：×OD×DC=×=，
∵陰影部分的面積等于扇形的面積減去△ODC的面積，
∴陰影部分的面積是6π-．
點評：本題考查的知識點是求扇形的面積、求三角形的面積、解直角三角形、含30度角的直角三角形，主要考查學生運用這些性質進行計算的能力，題目具有一定的代表性，難度也適中，是一道比較好的題目．