Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=與拋物線y=+bx+c交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為﹣8．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E．

①設(shè)△PDE的周長為l，點P的橫坐標為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值；

②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG．隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應(yīng)的點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1)；(2)①l=；當x=﹣3時，最大值為15；②（，2），（，2），（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用直線解析式求出點A、B的坐標，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；

（2）①利用直線解析式和拋物線解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根據(jù)直線k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根據(jù)三角形的周長公式列式整理即可得解，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；

②分（i）點G在y軸上時，過點P作PH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AP=AG，∠PAG=90°，再求出∠PAH=∠AGO，然后利用“角角邊”證明△APH和△GAO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PH=AO=2，然后利用二次函數(shù)解析式求解即可；（ii）點F在y軸上時，過點PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AP=FP，∠APF=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠APM=∠FPN，然后利用“角邊角”證明△APM和△FPN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PM=PN，從而得到點P的橫坐標與縱坐標相等，再根據(jù)二次函數(shù)的解析式求解即可．

試題解析：（1）令y=0，則=0，解得x=2，

x=﹣8時，y==，

∴點A（2，0），B（﹣8，），

把點A、B代入拋物線得，，解得，

所以，該拋物線的解析式；

（2）①∵點P在拋物線上，點D在直線上，

∴PD=﹣（）=，

∵PE⊥AB，

∴∠DPE+∠PDE=90°，

又∵PD⊥x軸，

∴∠BAO+∠PDE=90°，

∴∠DPE=∠BAO，

∵直線解析式k=，

∴sin∠BAO=，cos∠BAO=，

∴PE=PDcos∠DPE=PD，

DE=PDsin∠DPE=PD，

∴△PDE的周長為l=PD+PD+PD=PD=（）=，

即l=；

∵l=，

∴當x=﹣3時，最大值為15；

②∵點A（2，0），

∴AO=2，

分（i）點G在y軸上時，過點P作PH⊥x軸于H，

在正方形APFG中，AP=AG，∠PAG=90°，

∵∠PAH+∠OAG=90°，∠AGO+∠OAG=90°，

∴∠PAH=∠AGO，

在△APH和△GAO中，

∠PAH=∠AGO，∠AHP=∠GOA=90°，AP=AG，

∴△APH≌△GAO（AAS），

∴PH=AO=2，

∴點P的縱坐標為2，

∴=2，

整理得，+3x﹣2=0，

解得x=，

∴點（，2），（，2）；

（ii）點F在y軸上時，過點PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，

在正方形APFG中，AP=FP，∠APF=90°，

∵∠APM+∠MPF=90°，∠FPN+∠MPF=90°，

∴∠APM=∠FPN，

在△APM和△FPN中，

∠APM=∠FPN，∠AMP=∠FNP=90°，AP=AF，

∴△APM≌△FPN（AAS），

∴PM=PN，

∴點P的橫坐標與縱坐標相等，

∴=x，

整理得，+7x﹣10=0，

解得=，=（舍去），

∴點（，），

綜上所述，存在點（，2），（，2），（，）．