Question

已知：矩形OABC中，A（6，0），B（6，4），F(xiàn)為AB邊的中點(diǎn)，直線EF交邊BC于E，且sin∠BEF=，P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥OA于M，PN⊥OC于N．
（1）求直線EF的函數(shù)解析式并注明自變量取值范圍；
（2）求矩形ONPM的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）矩形ONPM、矩形OABC有可能相似嗎？若相似，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不相似，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A（6，0），B（6，4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可以得出F點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用sin∠BEF=，即可得出EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BE的長(zhǎng)，即可得出E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線EF的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)矩形ONPM的面積為S，表示出OM，NO，再利用二次函數(shù)最值求出即可；
（3）利用矩形ONPM、矩形OABC相似時(shí)，對(duì)應(yīng)邊比值相等求出即可．
解答：解：（1）∵F為AB中點(diǎn)，AB=4，
∴AF=2，BF=2，F(xiàn)（6，2），
在Rt△BEF中，EF===2，
∴BE=，
∴CE=6-4=2，
∴E（2，4），
設(shè)直線EF的函數(shù)解析式為y=kx+b，
把E（2，4）、F（6，2）分別代入
解得：，
∴直線EF的函數(shù)解析式為（2≤x≤6）．

（2）設(shè)矩形ONPM的面積為S，
∵點(diǎn)P在直線上，
∴OM=x，ON=，
∴S==，
∴矩形ONPM的面積S的最大值為，
此時(shí)，x=5，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，）．

（3）當(dāng)矩形ONPM、矩形OABC相似時(shí)，
有或，
∴或，
∴或，且滿足2≤x≤6，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值和矩形的相似性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出E，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)以及根據(jù)二次函數(shù)最值得出是解決問題的關(guān)鍵．