Question

【題目】如圖1，一條拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且當(dāng)x=﹣1和x=3時(shí)，y的值相等，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6，另一個(gè)交點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式．
（2）動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①若使△BPQ為直角三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的t值；
②求t為何值時(shí)，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是多少？
（3）如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，連接OD，OM，MD得△ODM，將△OPD沿x軸向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜m＜2），將平移后的三角形與△ODM重疊部分的面積記為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵當(dāng)x=﹣1和x=3時(shí)，y的值相等，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，把x=1和x=6分別代入中，得頂點(diǎn)M（1，﹣），另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（6，6），

則可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x﹣1）2﹣，將（6，6）代入其中，解得a=，

∴拋物線的表達(dá)式為y=，即 y=

（2）

解：如下圖：

當(dāng)y=0時(shí)，=0． 解得：x1=﹣2，x2=4．

由題意可知：A（ 2，0），B（4，0），

所以O(shè)A=2，OB=4；

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3，

所以點(diǎn)C（0，﹣3），OC=3，

由勾股定理知BC=5，

OP=1×t=t，BQ=2×t=2t，

①∵∠PBQ是銳角，

∴有∠PQB=90°或∠BPQ=90°兩種情況：當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，可得△PQB∽△COB，

∴，

∴，

∴t=；

當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，可得△BPQ∽△BOC，

∴，

∴，

∴t=；

由題意知0≤t≤2.5，

∴當(dāng)t=或t=時(shí)，以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形…7分

②過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AB于G，

∴△BGQ∽△BOC，

∴，

∴，

∴GQ=，

∴S四邊形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ=﹣=

=9．

∵＞0，

∴四邊形ACQP的面積有最小值，

又∵t=2 滿足0≤t≤2.5，

∴當(dāng)t=2時(shí)，四邊形ACQP的面積最小，最小值是；

（3）

解：如下圖，

由OB=4得OP=2，把 x=2代入y=中，得y=﹣3，

所以D（2，﹣3），

直線CD∥x軸，

設(shè)直線OD的解析式為y=k1x，

則k1=﹣，所以y=﹣x，

因?yàn)椤鱌1O1D1是由△POD 沿x軸 向左平移m個(gè)單位得到的，所以P1（2﹣m，0），D1（2﹣m，﹣3），E（2﹣m，﹣3+ ）

設(shè)直線OM的解析式為y=k2x，

則k2=﹣，

所以y=﹣．

①當(dāng)0時(shí)，作FH⊥軸于點(diǎn)H，由題意O1（﹣m，0），

又∵O1D1∥OD，

∴直線O1D1的解析式為y=﹣．

聯(lián)立方程組，

解得，

所以F（，），

所以FH=，

=﹣﹣==3m﹣．

如下圖，

當(dāng)時(shí)，設(shè)D1P1交OM于點(diǎn)F，直線OM的解析式為y=﹣，

所以F（2﹣m，﹣），

所以EF=，

∴S△OEF=

綜上所述，S=．

【解析】（1）因?yàn)楫?dāng)x=﹣1和x=3時(shí)，y的值相等，所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，將x=1和x=6分別代入中，可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與直線另一交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，最后將（6，6）代入即可求得拋物線的解析式；
（2）①先求得A（ 2，0），B（4，0），C（0，﹣3），從而可得到OA=2，OB=4；OC=3，由勾股定理知BC=5，有∠PQB=90°或∠BPQ=90°兩種情況：當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，可得△PQB∽△COB，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，可得△BPQ∽△BOC；②過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AB于G，能夠等到△BGQ∽△BOC，可求得GQ=然后S四邊形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ=9-，從而可求得四邊形的面積的最值；
（3）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)平移與坐標(biāo)變換的關(guān)系得出點(diǎn)P1（2﹣m，0），D1（2﹣m，﹣3），E（2﹣m，﹣3+ ），①當(dāng)0時(shí)，作FH⊥軸于點(diǎn)H，S四邊形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ；當(dāng)時(shí)，設(shè)D1P1交OM于點(diǎn)F，S△OEF=．