Question

如圖1，已知直線(xiàn)y=kx與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A（3，6）．
（1）求k的值；
（2）點(diǎn)P為拋物線(xiàn)第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線(xiàn)OA于點(diǎn)Q，再過(guò)點(diǎn)Q作直線(xiàn)PM的垂線(xiàn)，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線(xiàn)段QM與線(xiàn)段QN的長(zhǎng)度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說(shuō)明理由；
（3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線(xiàn)上對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？

Answer 1

【答案】分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入到正比例函數(shù)的解析式后利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)y=kx的解析式；
（2）如答圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H，構(gòu)造相似三角形△QHM與△QGN，將線(xiàn)段QM與線(xiàn)段QN的長(zhǎng)度之比轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比，即 ===tan∠AOM=2為定值．需要注意討論點(diǎn)的位置不同時(shí)，這個(gè)結(jié)論依然成立；
（3）延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R．由已知條件角的相等關(guān)系∠BAE=∠BED=∠AOD，可以得到△ABE∽△OED．借助得到的二次函數(shù)圖象（如答圖3），可見(jiàn)m在不同取值范圍時(shí)，x的取值（即OE的長(zhǎng)度，或E點(diǎn)的位置）有1個(gè)或2個(gè)．這樣就將所求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分析二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題．
另外，在相似三角形△ABE與△OED中，運(yùn)用線(xiàn)段比例關(guān)系之前需要首先求出AB的長(zhǎng)度．如答圖2，可以通過(guò)構(gòu)造相似三角形，或者利用一次函數(shù)（直線(xiàn)）的性質(zhì)求得AB的長(zhǎng)度．
解答：解：（1）把點(diǎn)A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2．…（3分）；
（2）線(xiàn)段QM與線(xiàn)段QN的長(zhǎng)度之比是一個(gè)定值，…（4分）；
理由如下：
如圖1，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H．
①當(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合，
此時(shí)．…（6分）；
②當(dāng)QH與QM不重合時(shí)，
∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上，
∴∠MQH=∠GQN．
又∵∠QHM=∠QGN=90°，∴△QHM∽△QGN．∴．
當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線(xiàn)和直線(xiàn)上不同位置時(shí)，同理可得．…（8分）；
∴線(xiàn)段QM與線(xiàn)段QN的長(zhǎng)度之比是一個(gè)定值．
（3）如圖2，延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R．
∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF．
∴OC=AC=．
∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，
∴△AOR∽△FOC．∴．∴OF=．
∴點(diǎn)F（，0）．…（9分）；
設(shè)點(diǎn)B（x，），過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AR于點(diǎn)K，則△AKB∽△ARF．
∴
，即．
解得x₁=6，x₂=3（舍去）．∴點(diǎn)B（6，2）．…（10分）；
∴BK=6-3=3，AK=6-2=4．∴AB=5．
在△ABE與△OED中，∵∠BAE=∠BED，
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB．
∴∠ABE=∠DEO．
∵∠BAE=∠EOD，∴△ABE∽△OED．
設(shè)OE=x，則AE=-x （），
由△ABE∽△OED得，即．
∴．
∴頂點(diǎn)為
．如圖3，當(dāng)時(shí)，OE=x=，此時(shí)E點(diǎn)有1個(gè)；
當(dāng)時(shí)，任取一個(gè)m的值都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)x值，此時(shí)E點(diǎn)有2個(gè)．…（14分）；
∴當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)，當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：本題是中考?jí)狠S題，難度較大，解題核心是相似三角形與拋物線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)，另外也考查了一次函數(shù)、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．解題的難點(diǎn)在于轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，本題第（2），（3）問(wèn)都涉及到了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，要求同學(xué)們能夠?qū)⑺�求解的�?wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用自己所熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題，否則解題時(shí)將不知道從何下手而導(dǎo)致失分．