Question

如圖，某旅游區(qū)有一個景觀奇異的望天洞，點D是洞的入口，游人從入口進洞游覽后，要經(jīng)山洞到達山頂?shù)某隹跊鐾�A處觀賞旅游區(qū)風(fēng)景，最后做纜車沿索道AB返回山腳下的B處．在同一平面內(nèi)，若測得斜坡BD的長為100米，坡角∠DBC=10°，在A處測得的仰角∠ABC=40°，在D處測得的仰角∠ADF=45°，過點D做地面BE的垂線，垂足為點C．
（1）求∠ADB的度數(shù)；
（2）求索道AB的長（結(jié)果僅保留根號）．

Answer 1

分析：（1）利用點D處的周角即可求得∠ADB的度數(shù)；
（2）首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及到兩個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造三角關(guān)系，進而可求出答案．

解答：解：（1）∵DC⊥CE，
∴∠BCD=90°．
又∵∠DBC=10°，
∴∠BDC=80°，
∵∠ADF=85°，
∴∠ADB=360°-80°-90°-85°=105°．

（2）過點D作DG⊥AB于點G．
在Rt△GDB中，
∠GBD=40°-10°=30°，
∴∠BDG=90°-30°=60°．
又∵BD=100米，
∴GD=

1

2

BD=100×

1

2

=50米．
∴GB=BD×cos30°=100×

3

2

=50

3

米．
在Rt△ADG中，∠ADG=105°-60°=45°，
∴GD=GA=50米． （8分）
∴AB=AG+GB=（50+50

3

）米．
答：索道AB的長（50+50

3

）米．

點評：本題考查仰角的定義及直角三角形的解法．首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題是關(guān)鍵．