Question

如果拋物線與x軸都交于A，B兩點，且A點在x軸的正半軸上，B點在x同的負半軸上，OA的長是a，OB的長是b．

（1）求m的取值范圍；

（2）若a∶b=3∶1，求m的值，并寫出此時拋物線的解析式；

（3）設（2）中的拋物線與y軸交于點C，拋物線的頂點是M，問：拋物線上是否存 在點P，使△PAB的面積等于△BCM面積的8倍？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請 說明理由．

Answer 1

（1）設A，B兩點的坐標分別是（x₁，0）、（x₂，0），

∵A，B兩點在原點的兩側，

∴ x₁x₂<0，即-（m+1）<0，

解得  m>-1．

∵

    

當m>-1時，Δ>0，

∴m的取值范圍是m>-1．

（2）∵a∶b=3∶1，設a=3k，b=k（k>0），

則x₁=3k，x₂=-k，

∴

解得．

∵時，（不合題意，舍去），

∴m=2

∴拋物線的解析式是．

（3）易求拋物線與x軸的兩個交點坐標是A（3，0），B（-1，0）

與y軸交點坐標是C（0，3），頂點坐標是M（1，4）．

設直線BM的解析式為，

則

解得 

∴直線BM的解析式是y=2x+2．

設直線BM與y軸交于N，則N點坐標是（0，2），

∴

        

設P點坐標是（x,y），

∵，

∴．

即．

∴．∴．

當y=4時，P點與M點重合，即P（1，4），

當y=-4時，-4=-x²+2x+3，

解得．

∴滿足條件的P點存在．

P點坐標是（1，4），．