Question

【題目】如圖(1)我們知道等腰直角三角形的三邊的比AC:BC:AB=1:1： ，含有30度的直角三角形的三邊之比AC:BC:AB=1∶∶2.如圖(2)，分別取反比例函數(shù)， 圖象的一支，Rt△AOB中，OA⊥OB，OA=OB=2，AB交y軸于C，∠AOC=60°，點(diǎn)A,點(diǎn)B分別在這兩個(gè)圖像上。

（1）填空: K1=-__________，K2=______________.

（2）將△AOC沿y軸折疊得△DOC，如圖所示。

①試判斷D點(diǎn)是否存在的圖象上，并說明理由．

②在y軸上找一點(diǎn)N，使得|BN-DN|的值最大，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)。

③連接BD，求S四邊形OCBD．

（3）將Rt△AOB繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度是5°/秒。問：經(jīng)過多少秒，直線AB與圖中分支的對(duì)稱軸或者與圖中分支的對(duì)稱軸平行。直接寫出結(jié)果。

Answer 1

【答案】（1）K1=，K2=（2）①算出D（），在圖像上②N（0， ）③（3）12,48，30,66

【解析】試題分析：

（1）如圖1，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，由已知條件即可求得AE、OD、BF和OF的長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)A和點(diǎn)B所處象限即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，這樣即可求得k1和k2的值了；

（2）①由點(diǎn)A的坐標(biāo)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入中檢驗(yàn)即可得出結(jié)論；

②如圖2，延長(zhǎng)DB交y軸于點(diǎn)N，此時(shí)|BN-DN|的值最大，由B、D的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式，再由解析式即可求得直線BD與y軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo)了；

③由AB的坐標(biāo)求出直線AB的解析式，由此求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再過點(diǎn)B作y軸的垂線，過點(diǎn)D作x軸的垂線，利用兩垂線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)矩形結(jié)合已知條件即可求出四邊形OCBD的面積了；

（3）如圖3，兩個(gè)反比例函數(shù)圖象的分支的對(duì)稱軸分別是直線l1和l2，它們與x軸相交形成的銳角度數(shù)都是45°，由圖可知，當(dāng)△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°和240°時(shí)，AB與l2平行，當(dāng)旋轉(zhuǎn)150°和330°時(shí)，AB和l1平行，由此結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度為5°/秒即可求得對(duì)應(yīng)的時(shí)間了.

試題解析：

（1）如圖1，過點(diǎn)A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，

∴∠AEO=∠BFO=90°，

∵∠AOC=60°，

∴∠AOE=30°，∠BOF=30°，

∴AE：OE：OA=BF：OF：OB=1∶∶2，

又∵∵OA=OB=2，

∴AE=BF=1，OE=OF=，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為和，

∴， ；

（2）①∵點(diǎn)D和點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

∴，

∴點(diǎn)D在的圖象上；

②延長(zhǎng)DB交y軸于點(diǎn)N，此時(shí)|BN-DN|的值最大，

設(shè)直線BD的解析式為，則由B、D的坐標(biāo)可得： ，

解得： ，

∴BD的解析式為： ，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為；

③設(shè)直線AB的解析式為，

∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為和，

∴ ，解得 ，

∵直線AB與y軸相交于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

如圖2，過點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DQ⊥x軸于點(diǎn)Q，F(xiàn)B與DQ相交于點(diǎn)P，

∵點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為， ，

∴S四邊形OCBD=S矩形OFPQ-S△CFB-S△BDP-S△ODQ

=

=

=；

（3）如圖3，由題意可知，兩個(gè)反比例函數(shù)圖象的分支的對(duì)稱軸分別是直線l1和l2，它們與x軸相交形成的銳角度數(shù)都是45°，

由圖結(jié)合∠AOC=60°可知，當(dāng)△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°和240°時(shí)，AB與l2平行，當(dāng)旋轉(zhuǎn)150°和330°時(shí)，AB和l1平行，

又∵△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的速度為5°/秒，

∴60÷5=12（秒），150÷5=30（秒），240÷5=48（秒），330÷5=66（秒），

∴當(dāng)△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)12秒、30秒、48秒和66秒時(shí)，AB和兩個(gè)反比例函數(shù)圖象的一個(gè)分支的對(duì)稱軸平行.