Question

【題目】如圖，在ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝，對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于E，F.

(1)求BD的長；

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠AOF＝________° 時，△AOF與△BOE的面積相等？請寫出理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）90.

【解析】(1)在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求AC，由平行四邊形性質(zhì)求OA，在Rt△BAO中，由勾股定理得BO＝;

(2)當(dāng)F在AD中點時，OF和OE是△AOD和△BOC的中線，能平分面積，此時OF是三角形ABD的中位線，則OF平行于AB，所以∠AOF＝∠BAC＝90°.

解：(1)在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，

∴AC＝＝2.

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴BD＝2BO，AO＝AC＝1.在Rt△BAO中，由勾股定理得BO＝＝，

∴BD＝2.

(2)90　理由如下：易證△BOE≌△DOF，

∴若△AOF與△BOE面積相等，則△AOF與△DOF面積相等．

又∵△AOF與△DOF底邊AF和DF上的高相同，

∴AF＝DF，即F為AD的中點．

又∵O為BD的中點，∴OF為△DAB的中位線，

∴OF∥AB，

∴∠AOF＝∠BAC＝90°.

故答案為90.