Question

【題目】規(guī)定：滿足（1）各邊互不相等且均為整數(shù)；（2）最短邊上的高與最長邊上的高的比值為整數(shù)k。這樣的三角形稱為比高三角形，其中k叫做比高系數(shù)。根據(jù)規(guī)定解答下列問題：

（1）周長為13的比高三角形的比高系數(shù)k= ；

（2）比高三角形△ABC三邊與它的比高系數(shù)k之間滿足BC-AC=AC-AB=k2，求△ABC的周長的最小值。

Answer 1

【答案】（1）k=3或2；（2）△ABC的周長的最小值36

【解析】

（1）由三角形面積可知最短邊上的高與最長邊上的高的比值等于最長邊與最短邊的比值為整數(shù)k，因此根據(jù)三角形的周長確定出其三邊長，求其最長邊與最短邊的比值即可；

（2）由題意可知當(dāng)K=2時(shí)△ABC的周長有最小值，可設(shè)AB為 x ，AC為y，BC=2x，根據(jù)BC-AC=AC-AB=k2，列出關(guān)于x,y的二元一次方程組，求解即可.

（1）由三角形面積可知最短邊上的高與最長邊上的高的比值等于最長邊與最短邊的比值為整數(shù)k，周長為13，各邊互不相等且均為整數(shù)的三角形只有三個(gè)分別為 2，5，6或3，4，6，所以k=3或2

（2）∵各邊互不相等且均為整數(shù)

∴k≥2

∴k2 ≥4

∴當(dāng)k=2時(shí)△ABC的周長有最小值。

設(shè)AB為 x ，AC為y，BC=2x

列方程組得

解得方程組得

2x=16

∴△ABC的周長的最小值為.