Question

如圖，以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D，過(guò)D作DE⊥AC于E，可得結(jié)論：DE是⊙O的切線．問(wèn)：
（1）若點(diǎn)O在AB上向點(diǎn)B移動(dòng)，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓仍交BC于D，DE⊥AC的條件不變，那么上述結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如果AB=AC=5cm，sinA=

3

5

，那么圓心O在AB的什么位置時(shí)，⊙O與AC相切？

Answer 1

分析：（1）結(jié)論仍然成立．在連接OD后，因?yàn)镺D=OB，AB=AC，則有∠ABC=∠ACB=∠ODB，所以O(shè)D和AC永遠(yuǎn)平行；又DE和AC垂直，所以DE和OD也垂直，即DE是⊙O的切線．
（2）當(dāng)⊙O與AC相切時(shí)，若假設(shè)切點(diǎn)為F，⊙O與AB相交于G，則OF和AC垂直，即△AOF是一個(gè)以AO為斜邊的直角三角形；從而根據(jù)三角函數(shù)求得OF，OB的長(zhǎng)，即可確定圓心O在AB的什么位置時(shí)，⊙O與AC相切．

解答：解：（1）結(jié)論成立．理由如下：
如圖，連接OD；
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=∠ODB，
∴OD∥AC；
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切線．

（2）當(dāng)圓心O在AB上距B點(diǎn)為3x=

15

8

時(shí)，⊙O與AC相切．
如圖所示，⊙O與AC相切于F，⊙O與AB相交于G．則OF⊥AC；
在RT△AOF中，sinA=OF：AO=3：5；
設(shè)OF=3x，AO=5x，則OB=OG=OF=3x，AG=2x，
∴8x=AB=5，
∴x=

5

8

，此時(shí)OB=3x=

15

8

時(shí)，
即當(dāng)圓心O在AB上距B點(diǎn)為3x=

15

8

時(shí)，⊙O與AC相切．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定，以及圓中一些基本性質(zhì)．