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        1. 分別以▱ABCD(∠CDA≠90°)的三邊AB,CD,DA為斜邊作等腰直角三角形,△ABE,△CDG,△ADF.

          (1)如圖1,當(dāng)三個(gè)等腰直角三角形都在該平行四邊形外部時(shí),連接GF,EF.請判斷GF與EF的關(guān)系(只寫結(jié)論,不需證明);

          (2)如圖2,當(dāng)三個(gè)等腰直角三角形都在該平行四邊形內(nèi)部時(shí),連接GF,EF,(1)中結(jié)論還成立嗎?若成立,給出證明;若不成立,說明理由.

           

          【答案】

          解:(1)GF⊥EF,GF=EF。

          (2)GF⊥EF,GF=EF成立。理由如下:

          ∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,∠DAB+∠ADC=180°。

          ∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,

          ∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°

          ∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°!唷螮AF+∠CDF=45°。

          ∵∠CDF+∠GDF=45°,∴∠FDG=∠EAF。

          ∵在△EAF和△GDF中,,∴△EAF≌△GDF(SAS)。

          ∴EF=FG,∠EFA=∠DFG,即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA。

          ∴∠GFE=90°!郍F⊥EF。

          【解析】

          試題分析:(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)得出∠FDG=∠EAF,進(jìn)而得出△EAF≌△GDF即可得出答案:

          ∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,∠DAB+∠ADC=180°。

          ∵△ABE,△CDG,△ADF都是等腰直角三角形,

          ∴DG=CG=AE=BE,DF=AF,∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°。

          ∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA,

          ∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣(180°﹣∠CDA)=90°+∠CDA。

          ∴∠FDG=∠EAF。

          ∵在△EAF和△GDF中,,∴△EAF≌△GDF(SAS)。

          ∴EF=FG,∠EFA=∠DFG,即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA。

          ∴∠GFE=90°!郍F⊥EF。

          (2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)得出∠FDG=∠EAF,進(jìn)而得出△EAF≌△GDF即可得出答案。

           

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