Question

如圖，已知拋物線過點(diǎn)A（0，6），B（2，0），C（7，）. 若D是拋物線的頂點(diǎn)，E是拋物線的對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn)，F(xiàn)與E關(guān)于D對(duì)稱.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求證：∠CFE=∠AFE；

（3）在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△AFP與△FDC相似，若有，請(qǐng)求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若沒有，請(qǐng)說明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，6），B（2，0），C（7，）的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，

則：

解得

∴ 此拋物線的解析式為

（2）過點(diǎn)A作AM∥x軸，交FC于點(diǎn)M，交對(duì)稱軸于點(diǎn)N.

∵拋物線的解析式可變形為

∴拋物線對(duì)稱軸是直線x =4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，－2）.則AN=4.

設(shè)直線AC的解析式為,

則有，解得.

∴  直線AC的解析式為

當(dāng)x=4時(shí)，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，4），

∵點(diǎn)F與E關(guān)于點(diǎn)D對(duì)稱，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，－8）

設(shè)直線FC的解析式為,

則有，解得.

∴  直線AC的解析式為

∵AM與x軸平行，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6.

當(dāng)y=6時(shí)，則有解得x=8.

∴AM=8,MN=AM—MN=4[來源:Zxxk.Com]

∴AN=MN

∵FN⊥AM

∴∠ANF=∠MNF

又NF=NF

∴△ANF≌△MNF

∴∠CFE=∠AFE

（3）∵C的坐標(biāo)為（7，），F(xiàn)坐標(biāo)為（4，－8）

∴

∵又A的坐標(biāo)為（0，6），則，

又DF=6，

若△AFP∽△DEF

∵EF∥AO，則有∠PAF=∠AFE，

又由（2）可知∠DFC=∠AFE

∴∠PAF=∠DFC

若△AFP1∽△FCD

則,即,解得P1A=8.

∴O P1=8－6=2

∴P1的坐標(biāo)為（0，－2）

若△AFP2∽△FDC

則,即,解得P2A=.

∴O P2=－6=.

∴P2的坐標(biāo)為（0，－）

所以符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)不兩個(gè)，分別是P1（0，－2），P2（0，－）.

【解析】（1）用待定系數(shù)法，知道拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以用一般式來求解析式

（2）求證角相等，可以利用全等三角形或找中間量或放在等腰三角形里，本題通過構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形來解決

（3）題目出現(xiàn)“使△AFP與△FDC相似”，肯定需要分情況討論，由于∠PAF=∠DFC，

只有兩種情況①△AFP∽△FCD②△AFP∽△FDC