Question

【題目】如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，AB＝10cm，BC＝12cm．點(diǎn)E，F，G分別從A，B，C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)E的運(yùn)動速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動速度為3cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動速度為xcm/s．當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB'F，設(shè)點(diǎn)E，F，G運(yùn)動的時(shí)間為t（單位：s）．

（1）當(dāng)t＝ s時(shí)，四邊形EBFB'為正方形；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以點(diǎn)E，B，F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形可能全等？

（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2.5；（2）3或4；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）利用正方形的性質(zhì)，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；

（2）分兩種情況討論，①△EBF≌△FCG，②△EBF≌△GCF，分別根據(jù)對應(yīng)邊相等列等式計(jì)算即可；

（3）本問為存在型問題．假設(shè)存在，則可以分別求出在同一條件下的t值，但它們互相矛盾，所以不存在．

解：（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE=BF，BE=10-t，BF=3t，

即：10-t=3t，

解得t=2.5；

（2）分兩種情況討論：

①△EBF≌△FCG，

則EB=FC，BF=CG，

∴，

解得：，

②當(dāng)△EBF≌△GCF時(shí)，

則EB=GC，BF=FC，

∴，

解得：，

綜上，當(dāng)x=3或4時(shí)，以點(diǎn)E，B，F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形可能全等；

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合．

如圖，過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M， ON⊥AB于點(diǎn)N，

則在Rt△OFM中，，，

∴，

即，

解得：

在Rt△OEN中，，，，

∴，

即，

解得：，

∵，

∴假設(shè)不成立，

即不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合．