Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將此三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB與點(diǎn)D、點(diǎn)E，圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形．
（1）觀察線段PD和PE之間的有怎樣的大小關(guān)系，并以圖②為例，加以說(shuō)明；
（2）△PBE是否構(gòu)成等腰三角形？若能，指出所有的情況（即求出△PBE為等腰三角形時(shí)CE的長(zhǎng)）；若不能請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）PD=PE．以圖②為例，如圖，連接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（ASA）
∴PD=PE；

（2）能，①當(dāng)EP=EB時(shí)，CE=BC=1．
②當(dāng)EP=PB時(shí)，點(diǎn)E在BC上，則點(diǎn)E和C重合，CE=0．
③當(dāng)BE=BP時(shí)，若點(diǎn)E在BC上，則CE=2-．
若點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，則CE=2+．
分析：（1）連接PC，通過(guò)證明△DPC≌△EPB，得出PD=PE．
（2）分EP=EB、EP=PB時(shí)、BE=BP三種情況進(jìn)行解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定；此題是分類(lèi)討論題，應(yīng)分情況進(jìn)行論證，不能漏解．輔助線的作出是解答本題的關(guān)鍵．