Question

已知拋物線y₁＝ax²＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，4)，它與直線y₂＝x＋1的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

(1)求拋物線的解析式；

(2)在給出的坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線y₁＝ax²＋bx＋c(a≠0)及直線y₂＝x＋1的圖象，并根據(jù)圖象，直接寫(xiě)出使得y₁≥y₂的x的取值范圍；

(3)設(shè)拋物線與x軸的右邊交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，交直線y₂＝x＋1于點(diǎn)B，點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)S_△PAB≤6時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)首先求出拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式； 　　(2)確定出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，依題意畫(huà)出函數(shù)的圖象．由圖象可以直觀地看出使得y1≥y2的x的取值范圍； 　　(3)首先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)度；設(shè)△PAB中，AB邊上的高為h，則由S△PAB≤6可以求出h的范圍，這是一個(gè)不等式，解不等式求出xP的取值范圍． 　　解答：解：(1)∵拋物線與直線y2＝x＋1的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2， 　　∴交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2＋1＝3，即交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，3)． 　　設(shè)拋物線的解析式為y1＝a(x－1)2＋4，把交點(diǎn)坐標(biāo)(2，3)代入得： 　　3＝a(2－1)2＋4，解得a＝－1， 　　∴拋物線解析式為：y1＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3． 　　(2)令y1＝0，即－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1， 　　∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)和(－1，0)． 　　在坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線與直線的圖形，如圖： 　　根據(jù)圖象，可知使得y1≥y2的x的取值范圍為－1≤x≤2． 　　(3)由(2)可知，點(diǎn)A坐標(biāo)為(3，0)． 　　令x＝3，則y2＝x＋1＝3＋1＝4，∴B(3，4)，即AB＝4． 　　設(shè)△PAB中，AB邊上的高為h，則h＝|xP－xA|＝|xP－3|， 　　S△PAB＝AB·h＝×4×|xP－3|＝2|xP－3|． 　　已知S△PAB≤6，2|xP－3|≤6，化簡(jiǎn)得：|xP－3|≤3， 　　去掉絕對(duì)值符號(hào)，將不等式化為不等式組：－3≤xP－3≤3， 　　解此不等式組，得：0≤xP≤6， 　　∴當(dāng)S△PAB≤6時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍為0≤xP≤6． 　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、三角形的面積、解不等式(組)等知識(shí)點(diǎn)．題目難度不大，失分點(diǎn)在于第(3)問(wèn)，點(diǎn)P在線段AB的左右兩側(cè)均有取值范圍，注意不要遺漏．

提示：

二次函數(shù)綜合題．