Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的邊在軸上，點(diǎn)，線段，線段，且，與的交點(diǎn)記為，連接．

（1）求的面積．

（2）如圖2，在線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、（在點(diǎn)上方），且，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的值最小時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在軸上找一點(diǎn)，軸上找一點(diǎn)，使得取得最小值，請(qǐng)求出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），（3）；

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AB于點(diǎn)P，則利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出DP的長(zhǎng)度，即可得到答案；

（2）根據(jù)題意，作點(diǎn)F關(guān)于BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HI∥BE，取HI=KG=，過(guò)點(diǎn)I作y軸的平行線，交AB于點(diǎn)J，交BE于點(diǎn)K，交CD于點(diǎn)P，此時(shí)得到最小值，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理，30度直角三角形的性質(zhì)，求出BG的長(zhǎng)度，然后求出BJ的長(zhǎng)度，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)H，則此時(shí)最小；由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后求出AM的長(zhǎng)度，即可求出最小值.

解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AB于點(diǎn)P，

∵，

∴，

在Rt△ADP中，AD=6，

∴AP=3，

由勾股定理，得

，

∴；

（2）如圖，作點(diǎn)F關(guān)于BE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HI∥BE，取HI=KG=，過(guò)點(diǎn)I作y軸的平行線，交AB于點(diǎn)J，交BE于點(diǎn)K，交CD于點(diǎn)P，此時(shí)得到最小值；

則四邊形KGHI是平行四邊形，

∴HG=IK=FG，HI=KG=，

在Rt△AOE中，∠OAE=60°，OA=2，

∴∠AEO=30°，

∴AE=2OA=4，

∴OE=，

在Rt△OBE中，OB=6，

∴，

∵，

∴△ABE是直角三角形，即AE⊥BE，

∴∠ABE=30°，∠FBG=90°，

∴∠BGH=∠BGF=60°，

∴∠BFG=30°，

∴，

∵點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，

∴BF=3，

由勾股定理，得：，

∴，

∴，

在Rt△BJK中，∠ABE=30°，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（3，）；

（3）如圖，作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，作，交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)H，則此時(shí)最��；

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得，

∴，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴；

∵AB∥CD，

∴四邊形OMLQ是矩形，

∴OM=QL=，

∴AM=，

∴，

∴的最小值為.