Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12. 以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.

(1)求證：直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)；

(2)求sin∠E的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).

【解析】

（1）求證直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn)，只要連接OD證明OD⊥EF即可；
（2）根據(jù)∠E=∠CBG，可以把求sin∠E的值得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求sin∠CBG，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求Rt△BCG中，兩邊的比的問(wèn)題．

(1)連結(jié)OD, CD.

∵BC是直徑,

∴CD⊥AB.

∵AC=BC,

∴D是AB的中點(diǎn).

又O為BC中點(diǎn),

∴OD∥AC.

∵DF⊥AC,

∴OD⊥EF.

∴直線(xiàn)EF是⊙O的切線(xiàn).

(2)連結(jié)BG.

∵BC是直徑,

∴∠BGC=90°.

在Rt△BCD中, CD=.

∵AB·CD=AC·BG,

∴BG=.

在Rt△BGC中， CG=.

∵BG∥EF,

∴∠E=∠CBG.

∴sin∠E=sin∠CBG=.