Question

如圖，正方形的邊長為，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，把正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形（），交軸于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，拋物線過點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其對(duì)稱軸；

（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

解：（1）四邊形為正方形，

，．

又是的中點(diǎn)，

．

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，

在中，．

的值是．

 

（2）過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)．

在中，，．

設(shè)，則，在中，，

根據(jù)勾股定理，得．

即，解得（舍），．

，．

又點(diǎn)在第二象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（3）拋物線過點(diǎn)．

  解得

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．

將其配方，得．

拋物線的對(duì)稱軸是直線．

（4）存在點(diǎn)，使為直角三角形． 滿足條件的點(diǎn)共有4個(gè)：，，，．