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        1. 如圖,直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點,動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個長度單位的速度向原點O運動. 動直線EF從x軸開始以每秒1個長度單位的速度向上平行移動(即EF∥x軸),并且分別與y軸、線段AB交于E、F點. 連結FP,設動點P與動直線EF同時出發(fā),運動時間為t秒.

          (1) 當t=1秒時,求梯形OPFE的面積;

          (2) t為何值時,梯形OPFE的面積最大,最大面積是多少?

          (3) 設t的值分別取t1、t2時(t1≠t2),所對應的三角形分別為△AF1P1和△AF2P2.試判斷這兩個三角形是否相似,請證明你的判斷.

           

          【答案】

          (1)18;(2)t=5時,最大面積是50;(3)相似

          【解析】

          試題分析:(1)先根據(jù)直線的性質求出A、B兩點的坐標,再根據(jù)點A的移動規(guī)律,得到AP的長,從而求出OP的長;又因為EF=BE,用OB的長減去OE的長即可求出EF的長;從而利用梯形面積公式求出梯形OPFE面積;

          (2)設OE=t,AP=3t,利用梯形面積公式,將梯形面積轉化為關于t的二次函數(shù)表達式,求二次函數(shù)的最大值即可;

          (3)作FD⊥x軸于D,則四邊形OEFD為矩形.求出三角形各邊的長度表達式,計算出對應邊的比值,加上一個夾角相等,即可證得結論.

          設梯形OPFE的面積為S.

          (1)對于直線y=-x+20,當x=0時,y=20;當y=0時,x=20,

          ∴A(20,0),B(0,20)

          ∴OA=OB=20,∠A=∠B=45°

          當t=1時,OE=1,AP=3,

          ∴OP=17,EF=BE=19

          ∴S=(OP+EF)·OE=18;

          (2)OE=t,AP=3t,

          ∴OP=20-3t,EF=BE=20-t

          ∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t =-2t2+20t=-2(t-5)2+50.

          ∴當t=5(在0<t<范圍內(nèi))時,S最大值=50;

          (3) 作FD⊥x軸于D,則四邊形OEFD為矩形

          ∴FD=OE=t,AF=FD=t. 

          又AP=3t.

          當t=t1時,AF1=t1,AP1=3t1

          當t=t2時,AF2=t2,AP2=3t2;

          ,

          又∠A=∠A,

          ∴△AF1P1∽△AF2P2.

          考點:本題考查了相似三角形的判定與性質,二次函數(shù)的性質

          點評:解答本題的關鍵是熟記求二次函數(shù)的最大(。┲涤腥N方法,第一種可由圖象直接得出,第二種是配方法,第三種是公式法,常用的是后兩種方法.

           

          練習冊系列答案
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