Question

（2009•石景山區(qū)一模）兩個(gè)反比例函數(shù)和（k₁＞k₂＞0）在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，動(dòng)點(diǎn)P在的圖象上，PC⊥x軸于點(diǎn)C，交的圖象于點(diǎn)A，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交的圖象于點(diǎn)B．
（1）求證：四邊形PAOB的面積是定值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值；
（3）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，2），△OAB、△ABP的面積分別記為S_△OAB′S_△ABP．設(shè)S=S_△OAB-S_△ABP′
①求k₁的值；
②當(dāng)k₂為何值時(shí)，S有最大值，最大值為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）讓矩形OCPD的面積減去周圍幾個(gè)直角三角形的面積，其中面積應(yīng)整理為和函數(shù)上的點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)的式子；
（2）利用（1）中兩個(gè)三角形的面積相等，得到相關(guān)線段的比值；
（3）把P坐標(biāo)代入所在的反比例函數(shù)即可求得比例系數(shù)的值；所求面積為（1）中所求的面積減去2個(gè)△ABP的面積，整理為二次函數(shù)的一般形式，求出最值．
解答：（1）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
△AOC與△BOD的面積分別為S₁，S₂，矩形PCOD的面積為S₃，
由題意，得，，，
∴，，S₃=x₃y₃=k₁，
∴S_{四邊形PAOB}=S₃-（S₁+S₂）=K₁-K₂，
∴四邊形PAOB的面積是定值；（2分）

（2）解：由（1）可知S₁=S₂，則OD•BD=OC•AC
又∵
∴
∵DP=OC，OD=PC
∴
∴；（4分）

（3）解：①由題意知：k₁=x_Py_P=10；（5分）
②A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
∴
∴
∴
∴當(dāng)k₂=5時(shí)，s有最大值．（7分）
點(diǎn)評(píng)：求坐標(biāo)系內(nèi)圖形的面積，通常整理為矩形面積減去若干直角三角形的面積的形式．在做題過程中應(yīng)注意所列的式子都應(yīng)與反比例函數(shù)上的點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)．