Question

（2013•恩施州）如圖所示，直線l：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)B、C和D（3，0）．
（1）求直線BD和拋物線的解析式．
（2）若BD與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S_△PBD=6？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式；
（2）首先確定△MCD為等腰直角三角形，因?yàn)椤鰾ND與△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答圖1所示，符合條件的點(diǎn)N有3個(gè)；
（3）如答圖2、答圖3所示，解題關(guān)鍵是求出△PBD面積的表達(dá)式，然后根據(jù)S_△PBD=6的已知條件，列出一元二次方程求解．

解答：解：（1）∵直線l：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴A（-1，0），B（0，3）；
∵把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，∴C（1，0）．
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
∵點(diǎn)B（0，3），D（3，0）在直線BD上，
∴

b=3 3k+b=0

，
解得k=-1，b=3，
∴直線BD的解析式為：y=-x+3．
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），
∵點(diǎn)B（0，3）在拋物線上，
∴3=a×（-1）×（-3），
解得：a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．

（2）拋物線的解析式為：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）．
直線BD：y=-x+3與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，令x=2，得y=1，
∴M（2，1）．
設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，則CF=FD=MF=1，
∴△MCD為等腰直角三角形．
∵以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，
∴△BND為等腰直角三角形．
如答圖1所示：
（I）若BD為斜邊，則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，
∴N₁（0，0）；
（II）若BD為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上，
∵OB=OD=ON₂=3，
∴N₂（-3，0）；
（III）若BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上，
∵OB=OD=ON₃=3，
∴N₃（0，-3）．
∴滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為：（0，0），（-3，0）或（0，-3）．

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使S_△PBD=6，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）．
（I）當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD上方時(shí)，如答圖2所示：
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE=n，DE=m-3．
S_△PBD=S_梯形PEOB-S_△BOD-S_△PDE=

1

2

（3+n）•m-

1

2

×3×3-

1

2

（m-3）•n=6，
化簡得：m+n=7 ①，
∵P（m，n）在拋物線上，
∴n=m²-4m+3，
代入①式整理得：m²-3m-4=0，
解得：m₁=4，m₂=-1，
∴n₁=3，n₂=8，
∴P₁（4，3），P₂（-1，8）；
（II）當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD下方時(shí)，如答圖3所示：
過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，則PE=m，OE=-n，BE=3-n．
S_△PBD=S_梯形PEOD+S_△BOD-S_△PBE=

1

2

（3+m）•（-n）+

1

2

×3×3-

1

2

（3-n）•m=6，
化簡得：m+n=-1 ②，
∵P（m，n）在拋物線上，
∴n=m²-4m+3，
代入②式整理得：m²-3m+4=0，△=-7＜0，此方程無解．
故此時(shí)點(diǎn)P不存在．
綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使S_△PBD=6，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）或（-1，8）．

點(diǎn)評(píng)：本題是中考?jí)狠S題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定與性質(zhì)、圖形面積計(jì)算、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想．第（2）（3）問均需進(jìn)行分類討論，避免漏解．