Question

【題目】（1）如圖，A、B是河l兩側的兩個村莊．現要在河l上修建一個抽水站C，使它到A、B兩村莊的距離的和最小，請在圖中畫出點C的位置，并保留作圖痕跡．

（探索）

（2）如圖，C、B兩個村莊在一條筆直的馬路的兩端，村莊A在馬路外，要在馬路上建一個垃圾站O，使得AO+BO+CO最小，請在圖中畫出點O的位置．

（3）如圖，現有A、B、C、D四個村莊，如果要建一個垃圾站O，使得AO+BO+CO+DO最小，請在圖中畫出點O的位置．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據兩點之間線段最短，連接AB，交l于點C即可；

（2）根據BO＋CO=BC為定長，故需保證AO最小即可，根據垂線段最短，過點A作AO⊥BC于O即可；

（3）根據兩點之間線段最短，故連接AC、BD交于點O即可．

解：（1）連接AB，交l于點C，此時AC＋BC=AB，根據兩點之間線段最短，AB即為AC＋BC的最小值，如下圖所示：點C即為所求；

（2）∵點O在BC上

∴BO＋CO=BC

∴AO+BO+CO=AO＋BC，而BC為定長，

∴當AO+BO+CO最小時，AO也最小

過點A作AO⊥BC于O，根據垂線段最短，此時AO最小，AO+BO+CO也最小，如下圖所示：點O即為所求；

（3）根據兩點之間線段最短，若使AO＋CO最小，連接AC，點O應在線段AC上；若使BO＋DO最小，連接BD，點O應在線段BD上，

∴點O應為AC和BD的交點

如下圖所示：點O即為所求．