Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），頂點C（1，-4），與x軸交于A、B兩點，A（-1，0）。
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線的對稱軸交于E，依次連接A、D、B、E，點Q為AB上一個動點（Q與A、B兩點不重合），過點Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，請判斷是否為定值，若是，請求出此定值，若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若點H是線段EQ上一點，過點H作MN⊥EQ，MN分別與邊AE、BE相交于M、N（M與A、E不重合，N與E、B不重合），請判斷是否成立，若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線解析式為 
將A（-1，0）帶入得 
∴
即；
（2）是定值1，
∵AB是直徑
∴∠AEB=90°
∵QF⊥AE
∴QF∥BE
∴
同理可得 
∴
∴為固定值1；
（3）成立，
∵直線EC為拋物線對稱軸
∴EC垂直平分AB
∴AE=EB
∴∠FAQ=45°
∴AF=FQ，
∵QF∥BE
∴
∴，
∵M(jìn)N⊥EQ
∴∠QEF=∠MNE
又∵∠QFE=∠MEN=90°
∴△QEF≌△MNE
∴ 
∴
∴。