Question

在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令A(yù)M＝x．  
（1）用含x的代數(shù)式表示△ＭNP的面積S；     
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與直線BC相切？      
（3）在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

Answer 1

解：（1）∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴△AMN ∽△ABC．
∴，即．
∴AN＝x．         
∴=．（0＜＜4） 
（2）如圖2，設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，OD，則AO="OD" =MN．
在Rt△ABC中，BC ＝=5．
由（1）知 △AMN ∽△ABC．
∴，即．  
∴，
∴． 
過(guò)M點(diǎn)作MQ⊥BC于Q，則． 
在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．
∴．
∴，
．
∴x＝． 
∴ 當(dāng)x＝時(shí)，⊙O與直線BC相切．
（3）隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，連結(jié)AP，則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn)．
∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴△AMO ∽△ABP．  
∴． AM＝MB＝2． 
故以下分兩種情況討論：
① 當(dāng)0＜≤2時(shí)，．  
② 當(dāng)2＜＜4時(shí)，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)．
∵ 四邊形AMPN是矩形，  
∴PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC，
∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．
∴ FN＝BM＝4－x． 
∴．
又△PEF ∽△ACB． 
∴．
∴．
＝．

解析