Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD、DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（P、Q兩點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)即終止）．設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動(dòng)了t秒．
（1）當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，求t的值；
（2）試問(wèn)是否存在這樣的t，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）過(guò)D作DE⊥AB于E，過(guò)C作CF⊥AB于F，如圖1．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴四邊形CDEF是矩形，
∴DE=CF．
又∵AD=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF，AE=BF．
又CD=2cm，AB=8cm，
∴EF=CD=2cm，
AE=BF=

1

2

（8-2）=3（cm）．
若四邊形APQD是直角梯形，則四邊形DEPQ為矩形．
∵CQ=t，
∴DQ=EP=2-t，
∵AP=AE+EP，
∴2t=3+2-t，
∴t=

5

3

．

（2）在Rt△ADE中，DE=

36-9

=3

3

（cm），
S_梯形ABCD=

1

2

（8+2）×3

3

=15

3

（cm²）．
當(dāng)S_{四邊形PBCQ}=

1

2

S_梯形ABCD時(shí)，
①如圖2，若點(diǎn)Q在CD上，即0≤t＜2，
則CQ=t，BP=8-2t．
S_{四邊形PBCQ}=

1

2

（t+8-2t）×3

3

=

15 3

2

，
解之得t=3（舍去）．
②如圖3，若點(diǎn)Q在AD上，即2≤t＜4．
過(guò)點(diǎn)Q作HG⊥AB于G，交CD的延長(zhǎng)線于H．
由圖1知，sin∠ADE=AE：AD=

1

2

，
∴∠ADE=30°，
則∠A=60度．在Rt△AQG中，AQ=8-t，QG=AQ•sin60°=

3 (8-t)

2

，
在Rt△QDH中，∠QDH=60°，DQ=t-2，QH=DQ•sin60°=

3 (t-2)

2

．
由題意知，S_{四邊形PBCQ}=S_△APQ+S_△CDQ=

1

2

×2t×

3 (8-t)

2

+

1

2

×2×

3 (t-2)

2

=

15 3

2

，
即t²-9t+17=0，解之得t1=

9+ 13

2

（不合題意，舍去），t2=

9- 13

2

．
答：存在t=

9- 13

2

，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半．