Question

（2011•聊城）如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．點E、F、G分別從點A、B、C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動．點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，當(dāng)點F追上點G（即點F與點G重合）時，三個點隨之停止移動．設(shè)移動開始后第t秒時，△EFG的面積為S（cm²）
（1）當(dāng)t=1秒時，S的值是多少？
（2）寫出S和t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）若點F在矩形的邊BC上移動，當(dāng)t為何值時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F、C、G為頂點的三角形相似？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=1時，根據(jù)點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，可求出S和t的關(guān)系．
（2）根據(jù)點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，當(dāng)點F追上點G（即點F與點G重合）時，三個點隨之停止移動．設(shè)移動開始后第t秒時，△EFG的面積為S，求出S和t的關(guān)系式．
（3）兩邊對應(yīng)成比例夾角相等的三角形是相似三角形可求出解．

解答：解：（1）如圖1，當(dāng)t=1秒時，AE=2，EB=10，BF=4，F(xiàn)C=4，CG=2----------（1分）

由S=S_梯形GCBE-S_△EBF-S_△FCG----------（2分）
=

1

2

×(EB+CG)•BC-

1

2

EB•BF-

1

2

FC•CG
=

1

2

×（10+2）×8-

1

2

×10×4-

1

2

×4×2
=24（cm²）----------（3分）

（2）①如圖1，當(dāng)0≤t≤2時，點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上移動，
此時AE=2t，EB=12-2t，BF=4t，F(xiàn)C=8-4t，CG=2t
S=S_梯形GCBE-S_△EBF-S_△FCG 
=

1

2

×（EB+CG）•BC-

1

2

EB•BF-

1

2

FC•CG
=

1

2

×8×（12-2t+2t）-

1

2

×4t（12-2t）-

1

2

×2t（8-4t）
=8t²-32t+48．----------（4分）
②如圖2，當(dāng)點F追上點G時，4t=2t+8，解得t=4----------（5分）
當(dāng)2＜t＜4時，點E在邊AB上移動，點F、G都在邊CD上移動，此時CF=4t-8，CG=2t
FG=CG-CF=2t-（4t-8）=8-2t
S=

1

2

FG•BC=

1

2

（8-2t）•8=-8t+32．
即S=-8t+32----------（6分）

（3）如圖1，當(dāng)點F在矩形的邊BC上的邊移動時，0≤t≤2
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°
1若

EB

FC

=

BF

CG

，即

12-2t

8-4t

=

4t

2t

，
解得t=

2

3

．
又t=

2

3

滿足0≤t≤2，所以當(dāng)t=

2

3

時，△EBF∽△FCG----------（7分）
2若

EB

GC

=

BF

CF

即

12-2t

2t

=

4t

8-4t

，解得t=

3

2

．
又t=

3

2

滿足0≤t≤2，所以當(dāng)t=

3

2

時，△EBF∽△GCF----------（8分）
綜上所述，當(dāng)t=

2

3

或t=

3

2

時，以點E、B、F為頂點的三角形與以F、C、G為頂點的三角形相似．

點評：本題考查了相似三角形的判定定理，一次函數(shù)的應(yīng)用和三角形的面積以及矩形的性質(zhì)等知識點．