Question

（2012•慶元縣模擬）已知：在矩形A0BC中，分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．E是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，C重合），過(guò)E點(diǎn)的反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0)的圖象與BC邊交于點(diǎn)F．
（1）若△OAE、△OBF的面積分別為S₁、S₂且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）若OB=4，OA=3，記S=S_△OEF-S_△ECF問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，S有最大值，其最大值為多少？
（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)E，使得將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）分別用點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)表示出△AOE與△FOB的面積，再用S₁+S₂=2，進(jìn)行求解；
（2）應(yīng)分別用矩形面積和能用圖中的點(diǎn)表示出的三角形的面積表示出所求的面積，利用二次函數(shù)求出最值即可；
（3）由（2）點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3已求，利用折疊以及相似求得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)即可得出答案．

解答：解：（1）∵點(diǎn)E、F在函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象上，
∴設(shè)E（x₁，

k

x1

），F(xiàn)（x₂，

k

x2

），x₁＞0，x₂＞0，
∴S1=

1

2

x1

k

x1

=

K

2

，S₂=

1

2

x2

k

x2

=

K

2

，
∵S₁+S₂=2，
∴

K

2

+

K

2

=2，
∴k=2；

（2）由題意知：E，F(xiàn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(

k

3

，3)，F(4，

k

4

)，
∴S△ECF=

1

2

EC•CF=

1

2

(4-

1

3

k)(3-

1

4

k)，
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF，
=12-

1

2

k-

1

2

k-S_△ECF，
=12-k-S_△ECF，
∴S=S_△OEF-S_△ECF，
=12-k-2S_△ECF，
=12-k-2×

1

2

（4-

1

3

k）（3-

1

4

k），
∴S=-

1

12

k2+k．
當(dāng)k=-

1

2×(- 1 12 )

=6時(shí)，S有最大值．S最大值=

-1

4×(- 1 12 )

=3．
此時(shí)，點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，3），即點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)．

（3）設(shè)存在這樣的點(diǎn)E，將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB邊上的M點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥OB，垂足為N．
由題意得：EN=AO=3，EM=EC=4-

1

3

k，MF=CF=3-

1

4

k，
∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，
∴∠EMN=∠MFB．
又∵∠ENM=∠MBF=90°，
∴△ENM∽△MBF．
∴

EN

MB

=

EM

MF

，
∴

3

MB

=

4- 1 3 k

3- 1 4 k

=

4(1- 1 12 k)

3(1- 1 12 k)

，
∴MB=

9

4

．
∵M(jìn)B²+BF²=MF²，
∴(

9

4

)2+(

k

4

)2=(3-

1

4

k)2，
解得k=

21

8

．
∴EM=EC=4-

k

3

=

25

8

，
故AE=

7

8

．
∴存在符合條件的點(diǎn)E，它的坐標(biāo)為（

7

8

，3）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合性比較強(qiáng)，把反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，圖形的面積計(jì)算，二次函數(shù)最值的計(jì)算放在矩形的背景中，綜合利用這些知識(shí)解決問(wèn)題．在求坐標(biāo)系內(nèi)一般三角形的面積，通常整理為矩形面積減去若干直角三角形的面積的形式．