Question

關(guān)于x的方程為x²+（m+2）x+2m-1=0．
（1）證明：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出m的值及兩個(gè)實(shí)數(shù)根；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）運(yùn)用一元二次方程根的判別式，當(dāng)△＞0，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，要證明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即只要證出，△＞0即可．
（2）要使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得出x₁+x₂=-

b

a

=0，代入求出即可．

解答：（1）證明：△=（m+2）²-4（2m-1）=m²-4m+8=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）存在實(shí)數(shù)m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)．
由題知：x₁+x₂=-（m+2）=0，
解得：m=-2，
將m=-2代入x²+（m+2）x+2m-1=0，
解得：x=±

5

，
∴m的值為-2，方程的根為x=±

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程根的判別式，這種題型在中考中是熱點(diǎn)問題．