Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點F，C是⊙O上兩點，且F，C，B三等分半圓，連接AC，AF，過點C作CD⊥AF交AF延長線于點D，垂足為D．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若CD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） ⊙O的半徑為4

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由F、C、B三等分半圓，根據圓周角定理得，而，則，可判斷，由于，所以，然后根據切線的判定定理得到是的切線；

（2）連接BC，由AB為直徑得，由F、C、B三等分半圓得 ，則，所以，在中，利用含30度的直角三角形的關系得，在中，根據勾股定理求得，進而求得的半徑．

試題解析：

（1）連結OC，如圖，

∵F，C，B三等分半圓，

∴∠FAC=∠BAC

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC∥AF

∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線

（2）連結BC，如圖，∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°

∵ F，C，B三等分半圓，

∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，

∴∠DAC=30°

在Rt△ADC中，CD=2，

∴AC=2CD=4

在Rt△ACB中，

∴

∴AB=4，

∴⊙O的半徑為4