Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在上，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上于，且AC=CD，已知∠D=30°．
（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若弦CF⊥AB，垂足為E，且CF=2

3

，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據(jù)題意可求得∠A=30°，則∠OCA=30°，則∠OCD=90°，從而證得CD與⊙O相切；
（2）可求得CE，再在Rt△OCE中，利用三角函數(shù)求出OC，OE，即可得出陰影部分的面積．

解答：解：（1）CD與⊙O相切（1分）
理由：連接OC，（2分）
∵AC=DC，∴∠A=∠D=30°
∵AO=CO，∴∠OCA=∠A=30°．（3分）
∠COD=60°，∴∠D+∠COD=90°，∴∠OCD=90°
∴OC⊥CD，∴CD與⊙O相切（4分）

（2）∵CF⊥AB，∴CE=

1

2

CF=

3

（5分）
在Rt△OCE中，sin60°=

CE

OC

=

3

2

，OC=2
OE=1，S陰影=

nπr2

360

-

1

2

CE•OE=

60×π×22

360

-

1

2

×

3

×1=

2

3

π-

3

2

（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性題目，考查了切線的判定和性質(zhì)以及三角形面積、扇形面積的計(jì)算，特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，要熟練掌握．