Question

【題目】如圖，△ABC為等邊三角形，O為BC的中點，作⊙O與AC相切于點D．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）延長AC到E，使得CE＝AC，連接BE交⊙O與點F、M，若AB＝4，求FM的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）連接OD，作OG⊥AB于G，由等邊三角形的性質得出∠OCD＝∠OBG＝∠ABC＝60°，由切線的性質得出∠ODC＝90°＝∠OGB，證明△OBG≌△OCD得出OG＝OD，即可得出結論；

（2）連接OA、OM，作OH⊥FM于H，由垂徑定理得出FH＝MH，證明四邊形OHBG是矩形，得出OH＝BG，由直角三角形的性質得出OH＝BG＝OB＝1，OG＝BG＝，在Rt△OMH中，由勾股定理得出MH＝＝，即可得出結果．

（1）證明：連接OD，作OG⊥AB于G，如圖1所示：

則∠OGB＝90°，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠OCD＝∠OBG＝∠ABC＝60°，

∵O為BC的中點，

∴OB＝OC，

∵⊙O與AC相切于點D，

∴AC⊥OD，

∴∠ODC＝90°＝∠OGB，

在△OBG和△OCD中，

，

∴△OBG≌△OCD（AAS），

∴OG＝OD，

∴AB與⊙O相切；

（2）解：連接OA、OM，作OH⊥FM于H，如圖2所示：

則∠OHB＝90°，FH＝MH，

∵CE＝AC，AC＝BC，

∴CE＝BC，

∴∠CBE＝∠CEB＝∠ACB＝30°，

∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，

∵∠OGB＝90°，

∴四邊形OHBG是矩形，

∴OH＝BG，

∵△ABC是等邊三角形，O為BC的中點，

∴OB＝BC＝AB＝2，

∵∠BOG＝90°﹣60°＝30°，

∴OH＝BG＝OB＝1，OG＝BG＝，

在Rt△OMH中，OM＝OG＝，OH＝1，

∴MH＝＝，

∴FM＝2MH＝2．