Question

【題目】已知：如圖一，拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y=x-2經(jīng)過A、C兩點，且AB=2．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E，D，同時動點P從點B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個單位速度運動，（如圖2）；當點P運動到原點O時，直線DE與點P都停止運動，連DP，若點P運動時間為t秒；設s=，當t為何值時，s有最小值，并求出最小值．

（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=-x2+x-2．（2）當t=1時，s有最小值，且最小值為1．（3）當t=或時，以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似．

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)直線AC的解析式確定點A、C的坐標，已知AB的長，進一步能得到點B的坐標；然后由待定系數(shù)法確定拋物線的解析式．

（2）根據(jù)所給的s表達式，要解答該題就必須知道ED、OP的長；BP、CE長易知，那么由OP=OB-BP求得OP長，由∠CED的三角函數(shù)值可得到ED的長，再代入s的表達式中可得到關于s、t的函數(shù)關系式，結合函數(shù)的性質(zhì)即可得到s的最小值．

（3）首先求出BP、BD的長，若以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，已知的條件是公共角∠OBC，那么必須滿足的條件是夾公共角的兩組對應邊成比例，分兩種情況討論即可．

試題解析：（1）由直線：y=x-2知：A（2，0）、C（0，-2）；

∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即B（4，0）．

設拋物線的解析式為：y=a（x-2）（x-4），代入C（0，-2），得：

a（0-2）（0-4）=-2，解得a=-

∴拋物線的解析式：y=-（x-2）（x-4）=-x2+x-2．

（2）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，則tan∠OCB=2；

∵CE=t，∴DE=2t；

而OP=OB-BP=4-2t；

∴s=（0＜t＜2），

∴當t=1時，s有最小值，且最小值為1．

（3）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，則BC=2；

在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，則CD=t；

∴BD=BC-CD=2-t；

以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，已知∠OBC=∠PBD，則有兩種情況：

①，解得t=；

②，解得t=；

綜上，當t=或時，以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似．