Question

【題目】如圖，經過原點的拋物線y=﹣x2+2mx與x軸的另一個交點為A．點P在一次函數y=2x﹣2m的圖象上，PH⊥x軸于H，直線AP交y軸于點C，點P的橫坐標為1．（點C不與點O重合）
（1）如圖1，當m=﹣1時，求點P的坐標．
（2）如圖2，當 時，問m為何值時 ？
（3）是否存在m，使 ？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并定出相對應的點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，當m=﹣1時，y=2x+2，

令x=1，則y=4，

∴點P的坐標為（1，4）；

（2）

解：如圖2，∵PH⊥x軸，

∴PH∥OC，

∴△PAH∽△CAO，

∴ = ，

∵ =2，

∴ = =1，

∴OA= ．

令y=0，則﹣x2+2mx=0，

∴x1=0，x2=2m，

∴點A的坐標（2m，0），

∴2m= ，

∴m= ；

（3）

解：①當0＜m＜ 時，由（2）得m= ，

∴y=2x﹣ ，

令x=1，則y= ，

∴點P的坐標為（1， ）；

②如圖3，當 ≤m＜1時，

∵PH⊥x軸，

∴PH∥OC，

∴△APH∽△ACO，

∴ = ，

∵ =2，

∴ = ，

∴OH= OA，

∵OH=1，

∴OA= ，

∴2m= ，m= ，

∴y=2x﹣ ，

令x=1，則y= ，

∴點P的坐標為（1， ）；

③如圖4，當m≥1時，

∵PH⊥x軸，

∴PH∥OC，

∴△APH∽△ACO，

∴ = ，

∵ =2，

∴ = ，

∴OH= OA，

∵OH=1，

∴OA= ，

∴2m= ，m= ，

∵m＞1，∴m= 舍去；

④如圖5，當m≤0時，

∵PH⊥x軸，

∴PH∥OC，

∴△APH∽△ACO，

∴ = ，

∵ =2，

∴CP＞AP，

又∵CP＜AP，

∴m的值不存在．

【解析】（1）先將m=﹣1代入y=2x﹣2m，得到y(tǒng)=2x+2，再令x=1，求出y=4，即可求出點P的坐標；（2）先由PH∥OC，得出△PAH∽△CAO，根據相似三角形對應邊成比例得到 = ，由 =2，得出OA= ，再解方程﹣x2+2mx=0，求出點A的坐標（2m，0），則2m= ，m= ；（3）分四種情況討論：①當0＜m＜ 時，由（2）得m= ，將m= 代入y=2x﹣2m，得到y(tǒng)=2x﹣ ，再將x=1代入，求出y的值，得到點P的坐標；
②當 ≤m＜1時，先由PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根據相似三角形對應邊成比例得到 = ，由 =2，得出OA= ，解方程2m= ，得出m= ，再同①；③當m≥1時，同②，求出m= 舍去；④當m≤0時，先由PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根據相似三角形對應邊成比例得到 = ，由 =2，得出CP＞AP，而CP＜AP，所以m的值不存在．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的概念的相關知識，掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數，以及對二次函數的圖象的理解，了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．