Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點D是邊AC的中點，點E，F在邊AB上，當△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是時，△DEF腰長的值是_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

由勾股定理得出AB＝＝5，作DM⊥AB于M，由三角函數得出DM＝，分三種情況：①當DE＝DF時，②當ED＝EF時，作EN⊥DF于N，③當FE＝FD時，作FG⊥DE于G；由等腰三角形的性質、三角函數定義和勾股定理即可得出答案．

∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝＝5，

∵點D是邊AC的中點，

∴AD＝AC＝2，作DM⊥AB于M，如圖1所示：

∵sinA＝＝，

即＝，

∴DM＝，

分三種情況：

①當DE＝DF時，

∵tan∠DFE＝＝，

∴FM＝DM＝×＝，

∴DE＝DF＝＝＝；

②當ED＝EF時，作EN⊥DF于N，如圖2所示：

由①得：DM＝，FM＝，DF＝；

∵EN⊥DF，∴FN＝DN＝DF＝，

∵tan∠EFD＝＝，

∴EN＝FN＝，

∴ED＝EF＝＝；

③當FE＝FD時，作FG⊥DE于G，如圖3所示：

則EG＝DG，

同①得：EM＝，DE＝，

∴EG＝，

∵tan∠DEF＝＝，

∴GF＝EG＝，

∴EF＝＝；

綜上所述，當△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是時，△DEF腰長的值是或；

故答案為：或．