Question

【題目】如圖，中，，若動點(diǎn)從點(diǎn)開始，按的路徑運(yùn)動，且速度為每秒，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為秒.

（1）當(dāng)為幾秒時(shí)，平分；

（2）問為何值時(shí)，為等腰三角形？

（3）另有一點(diǎn)，從點(diǎn)開始，按的路徑運(yùn)動，且速度為每秒，若兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動. 當(dāng)為何值時(shí)，直線把的周長分成相等的兩部分？

Answer 1

【答案】（1）3；

（2）或或或時(shí)為等腰三角形；

（3）或時(shí)，直線把的周長分成相等的兩部分.

【解析】

（1）過點(diǎn)P作PQ⊥AB，根據(jù)勾股定理求出AC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可分別求出PM=PC，BM=BC，從而求出AM，設(shè)PM=PC=x，則AP=8－x，然后利用勾股定理列方程即可求出PC的長，從而求出時(shí)間t.

（2）根據(jù)等腰三角形的腰情況分類討論：1°若在邊上時(shí)，，易求時(shí)間t；2°若在邊上時(shí)，有三種情況：①若使，先求出P的運(yùn)動路程，然后求t即可；②若，過作斜邊的高CD，先求出P的運(yùn)動路程，然后求t即可；③若時(shí)，先求出P的運(yùn)動路程，然后求t即可；

（3）先求出△ABC的周長，再根據(jù)相遇前和相遇后分類討論：①相遇前當(dāng)點(diǎn)在上，在上，然后根據(jù)△ABC的周長的一半列方程即可求出t；②相遇后當(dāng)點(diǎn)在上，在上，原理同上.

（1）如圖所示，過點(diǎn)P作PQ⊥AB

∵

根據(jù)勾股定理可知：AC=

∵平分,∠C=90°，PQ⊥AB

∴PM=PC，∠MPB=90°－∠MBP =90°－∠CBP =∠CPB

∴BM=BC=6cm

∴AM=AB－BM=4

設(shè)PM=PC=x，則AP=8－x

根據(jù)勾股定理：

∴

解得x=3

∴PM=PC=3cm

∵點(diǎn)P速度為每秒

∴當(dāng)= PC÷1=3秒時(shí)，平分；

（2）1°若在邊上時(shí)，，如圖所示，

此時(shí)用的時(shí)間為：t=PC÷1=，為等腰三角形；

2°若在邊上時(shí)，有三種情況：

①若使，如圖所示

此時(shí)，

∴運(yùn)動的路程為AC＋AP=，

∴所以用的時(shí)間為：t=， 為等腰三角形；

②若，過作斜邊的高CD，如圖所示

∴BP=2BD

∵

解得：，

根據(jù)勾股定理

，

∴運(yùn)動的路程為，

∴所以用的時(shí)間為：t=， 為等腰三角形；

③若時(shí)，如圖所示，

則，

∵，

∴，

∴

∴

∴的路程為AC＋AP=，

∴所以用的時(shí)間為：t=， 為等腰三角形.

∴綜上所述：或或或時(shí)，為等腰三角形.

（3）△ABC的周長為：AB+BC+AC=24cm，周長的一半為：12cm

①相遇前當(dāng)點(diǎn)在上，在上，

則，

解得：；

②相遇后當(dāng)點(diǎn)在上，在上，

則，

，

∴，

綜上所述：或時(shí)，直線把的周長分成相等的兩部分.