Question

（2005•南寧）OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10，OC=6．
（1）如圖，在AB上取一點M，使得△CBM沿CM翻折后，點B落在x軸上，記作B'點．求B'點的坐標(biāo)；
（2）求折痕CM所在直線的解析式；
（3）作B'G∥AB交CM于點G，若拋物線y=x²+m過點G，求拋物線的解析式，并判斷以原點O為圓心，OG為半徑的圓與拋物線除交點G外，是否還有交點？若有，請直接寫出交點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）求B′的坐標(biāo)就是求OB′的長，也就要知道CB′的長，而根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CB′=CB，而四邊形OCBA是矩形，可得出CB=OA，、，也就得出了CB′=OA，即可求出OB′的長，也就求出了B′的坐標(biāo)；
（2）求CM所在直線的解析式，根據(jù)OC的長可得出C的坐標(biāo)，關(guān)鍵是求M點的坐標(biāo)，M的橫坐標(biāo)與A的橫坐標(biāo)相同，那么就要求出M的縱坐標(biāo)即AM的長，（1）中已求得了OB′的長，也就求出了AB′的長，可用AM表示出MB也就是MB′的長，然后在直角三角形AB′M中用勾股定理求出AM的長，也就得出了M的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出CM所在直線的解析式．
（3）（1）中已經(jīng)求得了OB′的長，也就是G的橫坐標(biāo)，然后代入CM所在直線的解析式中求出G點的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中求出m的值，即可得出拋物線的解析式．根據(jù)拋物線和圓的對稱性可得出拋物線與圓的另外一個交點就應(yīng)該是G關(guān)于y軸的對稱點．
解答：解：（1）∵△CB'M≌△CBM
∴CB'=CB=OA=10
∴OB'==8
∴B'（8，0）；

（2）設(shè)AM=n，則MB'=BM=6-n
AB'=10-8=2
∴n²+2²=（6-n）²
解得n=．
∴M（10，）、C（0，6）
設(shè)直線CM解析式為y=kx+b
∴
解得
∴直線CM的解析式為y=-x+6；

（3）設(shè)G（8，a）
∴a=-×8+6=
∴G（8，）
∴+m
∴m=-
∴y=x²-
除交點G外，另有交點為點G關(guān)于y軸的對稱點．
其坐標(biāo)為（-8，）．
點評：本題主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，以及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識點．