Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點坐標為M(1，4)，且經(jīng)過點N(2，3)，與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式及點A、B、C的坐標；

(2)若直線y=kx+t經(jīng)過C、M兩點，且與x軸交于點D，探索并判斷四邊形CDAN是怎樣的四邊形？并對你得到的結(jié)論予以證明；

(3)直線y=mx+2與拋物線交于T，Q兩點．是否存在這樣的實數(shù)m，使以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標原點，若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)，A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)； (2)四邊形CDAN是平行四邊形，證明見解析；(3)存在，m=

【解析】

(1)根據(jù)頂點式設拋物線解析式為()2+4，將N(2，3)代入求，確定拋物線解析式，根據(jù)拋物線解析式求點A、B、C的坐標；
(2)根據(jù)M、C兩點坐標求直線解析式，得出D點坐標，求線段AD，由C、N兩點坐標可知CN∥軸，再求CN，證明CN與AD平行且相等，判斷斷四邊形CDAN是平行四邊形；
(3)存在．如圖設T(，)，Q(，)，分別過T、Q作TF⊥軸，QG⊥軸，聯(lián)立直線TQ解析式與拋物線解析式，可得，，，之間的關系，當以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標原點時，∠TOQ=90°，利用互余關系可證△TOF∽△QOG，利用相似比得出線段關系，結(jié)合，，，之間的關系求m的值．

(1)拋物線的頂點坐標為M(1，4)，設拋物線解析式為)2+4，
將N(2，3)代入，得(2-1)2+4=3，解得，
∴拋物線解析式為)2+4，即，
令，得，則點C的坐標為(0，3)，
令，得

解得：或3，則點A的坐標為(-1，0)，點B的坐標為(3，0)；

(2)四邊形CDAN是平行四邊形．
理由：

將點C(0，3)，M(1，4)，代入直線中，得，
解得，

∴直線CM解析式為，則點D的坐標為(-3，0)，
∵C(0，3)，N(2，3)，

∴CN∥x軸，且，
又∵A(-1，0)，D(-3，0)，

∴AD=-1-(-3)=2，
∴四邊形CDAN是平行四邊形；

(3)存在．
如圖設T(，)，Q(，)，分別過T、Q作TF⊥軸，QG⊥軸，

聯(lián)立，

整理得，
∴，，
當以線段TQ為直徑的圓恰好過坐標原點時，∠TOQ=90°，
∴∠TOF+∠FOQ=∠FOQ+∠QOB=90°，
∴∠TOF=∠QOB，而∠TFO=∠QGO=90°，
∴△TOF∽△QOG，

∴，即，

∴，即，
整理得：，
∴，整理，得，
解得，

故存在實數(shù)使以線段TQ為直徑的圓過坐標原點．