Question

如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，Rt△EFG中，∠EGF=90°，F(xiàn)G=8cm，EG=6cm，點(diǎn)B、C、E、G在直線l上，正方形ABCD由C、E重合的位置開始，以1厘米/秒的速度沿直線l按箭頭所表示的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)正方形ABCD運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別求點(diǎn)D、A運(yùn)動(dòng)到EF上的時(shí)間；
（2）設(shè)x秒后，正方形ABCD與△EFG重疊部分的面積為ycm²，求y與x的函數(shù)關(guān)系式并求出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)D、A到EF的長(zhǎng)度分別為

9

4

cm和

21

4

cm，即可得出D、A運(yùn)動(dòng)到到EF的時(shí)間分別為

9

4

秒和

21

4

秒；
（2）此題要根據(jù)C點(diǎn)的不位置分情況討論，①當(dāng)0≤x＜

9

4

時(shí)，②當(dāng)

9

4

≤x＜3時(shí)，③當(dāng)3≤x＜

21

4

時(shí)，④當(dāng)

21

4

≤x＜6時(shí)，⑤當(dāng)6≤x＜9，討論即可得出結(jié)果．

解答：解：（1）D、A到EF的長(zhǎng)度分別為

9

4

cm和

21

4

cm，
∴D、A運(yùn)動(dòng)到到EF的時(shí)間分別為

9

4

秒和

21

4

秒；

（2）當(dāng)0≤x＜

9

4

時(shí)，
如圖①，設(shè)CD與EF交于H₁，
由△ECH₁∽△EGF得

CH1

FG

=

EC

EG

，CH1=

EC

EG

•FG=

4

3

x，
∴y=

1

2

EC•CH=

1

2

x•

4

3

x=

2

3

x2，
②當(dāng)

9

4

≤x＜3時(shí)，
如圖②設(shè)AD交EF于M，過M作MH⊥L于H，
由△EMH∽△EFG得：

EH

EG

=

MH

FG

，
得MD=x-

9

4

，
∴y=

1

2

(x-

9

4

+x)•3=3x-

27

8

，
③當(dāng)3≤x＜

21

4

時(shí)，
如圖③設(shè)AB與EF交于H₂，
由△EBH₂∽△BGF得：BH₂=

EB

EG

•FG=

4

3

(x-3)，AH2=3-BH2=

21

3

-

4

3

x，
同樣：AM=

AH2

FG

•EG=

3

4

(

21

3

-

4

3

x)=

21

4

-x，
y=S_{正方形ABCD}-S_△AMH2=9-

1

2

(

21

3

-

4

3

x)(

21

4

-x)=-

2

3

(x-

21

4

)2+9，
④當(dāng)

21

4

≤x＜6時(shí)，y=9，
⑤當(dāng)6≤x＜9，y=3（9-x）=-3x+27．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及梯形面積的計(jì)算方法，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度適中．