Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0）兩點，且x1＜x2 ， 與y軸交于點C（0，﹣4），其中x1 ， x2是方程x2﹣4x﹣12=0的兩個根．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點M是線段AB上的一個動點，過點M作MN∥BC，交AC于點N，連接CM，當△CMN的面積最大時，求點M的坐標；
（3）點D（4，k）在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵x2﹣4x﹣12=0，

∴x1=﹣2，x2=6．

∴A（﹣2，0），B（6，0），

又∵拋物線過點A、B、C，故設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣6），

將點C的坐標代入，求得 ，

∴拋物線的解析式為 ；

（2）

解：設(shè)點M的坐標為（m，0），過點N作NH⊥x軸于點H（如圖（1））．

∵點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（6，0），

∴AB=8，AM=m+2，

∵MN∥BC，∴△MNA∽△BCA．

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

= ，

= ．

∴當m=2時，S△CMN有最大值4．

此時，點M的坐標為（2，0）；

（3）

解：∵點D（4，k）在拋物線 上，

∴當x=4時，k=﹣4，

∴點D的坐標是（4，﹣4）．

①如圖（2），當AF為平行四邊形的邊時，AF平行且等于DE，

∵D（4，﹣4），∴DE=4．

∴F1（﹣6，0），F(xiàn)2（2，0），

②如圖（3），當AF為平行四邊形的對角線時，設(shè)F（n，0），

∵點A的坐標為（﹣2，0），

則平行四邊形的對稱中心的橫坐標為： ，

∴平行四邊形的對稱中心坐標為（ ，0），

∵D（4，﹣4），

∴E'的橫坐標為： ﹣4+ =n﹣6，

E'的縱坐標為：4，

∴E'的坐標為（n﹣6，4）．

把E'（n﹣6，4）代入 ，得n2﹣16n+36=0．

解得 ． ， ，

綜上所述F1（﹣6，0），F(xiàn)2（2，0），F(xiàn)3（8﹣2 ，0），F(xiàn)4（8+2 ，0）．

【解析】（1）根據(jù)一元二次方程解法得出A，B兩點的坐標，再利用交點式求出二次函數(shù)解析式；（2）首先判定△MNA∽△BCA．得出 ，進而得出函數(shù)的最值；（3）分別根據(jù)當AF為平行四邊形的邊時，AF平行且等于DE與當AF為平行四邊形的對角線時，分析得出符合要求的答案．