Question

已知一次函數(shù)y₁=2x，二次函數(shù)y₂=mx²-3（m-1）x+2m-1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y₂的頂點(diǎn)為A．
（1）求二次函數(shù)y₂的解析式；
（2）將y₂左右平移得到y(tǒng)₃交y₂于P點(diǎn)，過P點(diǎn)作直線l∥x軸交y₃于點(diǎn)M，若△PAM為等腰三角形，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）是否存在二次函數(shù)y₄=ax²+bx+c，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（-5，2），且對(duì)于任意一個(gè)實(shí)數(shù)x，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁、y₂、y₄都有y₁≤y₄≤y₂成立？若存在，求出函數(shù)y₄的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用公式：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸為x=-

b

2a

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）即可求解，則該二次函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)稱軸等于0而解得；
（2）根據(jù)y₂解析式設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，先三角形的三邊關(guān)系判斷AM不可能與其他兩邊中的一邊相等，則由AP=PM，代入點(diǎn)坐標(biāo)求得點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）易知y₁、y₂的交點(diǎn)為（1，2），由于y₂≥y₄≥y₁成立，即三個(gè)函數(shù)都交于（1，2），結(jié)合點(diǎn)（-5，2）的坐標(biāo)，可用a表示出y₄的函數(shù)解析式；已知y₄≥y₁，可用作差法求解，令y=y₄-y₁，可得到y(tǒng)的表達(dá)式，由于y₄≥y₁，所以y≥0，可據(jù)此求出a的值，即可得到拋物線的解析式．

解答：解：由題意二次函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，則-

-3(m-1)

2m

=0
解得：m≠0，則m=1
∴二次函數(shù)的解析式為：y₂=x²+1．

（2）二次函數(shù)的解析式為：y₂=x²+1．求得點(diǎn)A（0，1）如圖
設(shè)點(diǎn)p（x，x²+1），則點(diǎn)M（3x，x²+1）
∵△PAM為等腰三角形，
∴從圖中可知：Rt△OAM中，AM為斜邊，AM＞OM，只有AP=PM，
則AP=PM

x2+x4

=

4x2

x⁴-3x²=0
x²（x²-3）=0
解得x=0，x=±

3

當(dāng)x=0時(shí)，P（0，1）與點(diǎn)A重合，舍去；
當(dāng)x=

3

時(shí)，P（

3

，4），則y₂向右移動(dòng)得到；
當(dāng)x=-

3

時(shí)，P（-

3

，4）則y₂向左移動(dòng)得到．

（3）存在，
由題意知，當(dāng)x=1時(shí)，y₁=y₂=2，即y₁、y₂的圖象都經(jīng)過（1，2）；
∵對(duì)應(yīng)x的同一個(gè)值，y₂≥y₄≥y₁成立，
∴y₄=ax²+bx+c的圖象必經(jīng)過（1，2），
又∵y₄=ax²+bx+c經(jīng)過（-5，2），
∴

a+b+c=2 25a-5b+c=2 - b 2a =-2

解得：

b=4a c=2-5a

，
y₄=ax²+4ax-5a+2；
設(shè)y=y₄-y₁=ax²+4ax-5a+2-2x=ax²+（4a-2）x+（2-5a）；
對(duì)于x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₂≥y₄≥y₁成立，
∴y₄-y₁≥0，
∴y=ax²+（4a-2）x+（2-5a）≥0；
∵a＞0，
∴（4a-2）²-4a（2-5a）≤0，即（3a-1）²≤0，
而（3a-1）²≥0，故a=

1

3

∴拋物線的解析式為：y=

1

3

x²+

4

3

x-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，考到了二次函數(shù)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的幾何性質(zhì)，左右移動(dòng)后的圖象性質(zhì)，以及根據(jù)圖象性質(zhì)判斷在相同x的取值范圍上函數(shù)值具有的特點(diǎn)．