Question

如圖，已知二次函數y=ax²+4x+c的圖象經過點A（1，-1）和點B（-3，-9）．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；
（3）點P（m，-m）與點Q均在該函數圖象上（其中m＞0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q到x軸的距離．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法將A，B兩點代入二次函數解析式即可得出a，c的值，得出解析式即可；
（2）利用配方法求出二次函數的頂點坐標和對稱軸即可；
（3）利用點P（m，-m）在該函數圖象上，代入解析式即可求出m的值，進而得出Q到x軸的距離．

解答：解：（1）將x=1，y=-1；x=-3，y=-9分別代入y=ax²+4x+c得：

-1=a×12+4×1+c -9=a×(-3)2+4×(-3)+c.

解得  

a=1 c=-6.

∴二次函數的表達式為y=x²+4x-6；

（2）y=x²+4x-6；
=x²+4x+4-6-4，
=（x+2）²-10，
對稱軸為x=-2；頂點坐標為（-2，-10）；

（3）將（m，-m）代入y=x²+4x-6，得-m=m²+4m-6，
解得m₁=-6，m₂=1．
∵m＞0，
∴m₁=-6不合題意，舍去．
∴m=1．
∵點P與點Q關于對稱軸x=-2對稱，
∴點Q到x軸的距離為1．

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及配方法求二次函數的頂點坐標對稱軸以及圖象上點的坐標特點等知識，此題難度不大是中考中熱點題型．