Question

如圖，已知△ABC的頂點B、C為定點，A為動點（不在直線BC上），B′是點B關(guān)于直線AC的對稱點，C′是點C關(guān)于直線AB的對稱點，連接BC′、CB′、BB′、CC′．
（1）猜想線段BC′與CB′的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）當點A運動到怎樣的位置時，四邊形BCB′C′為菱形？這樣的位置有幾個？請用語言對這樣的位置進行描述（不用證明）；
（3）當點A在線段BC的垂直平分線（BC的中點及到BC的距離為

3 BC

6

的點除外）上運動時，判斷以點B、C、B′、C′為頂點的四邊形的形狀，畫出相應的示意圖．（不用證明）

Answer 1

分析：在（1）中，根據(jù)題意結(jié)合圖形可以很容易發(fā)現(xiàn)BC′=CB′．
（2）中BCB′C′為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)對角線互相垂直平分，而AC⊥BB′，AB⊥CC′，所以只要BB′與CC′相交于A點即可，即△ABC為直角三角形．
（3）分情況討論可以得出結(jié)果．

解答：解：（1）猜想：BC′=CB′
∵B′是點B關(guān)于直線AC的對稱點
∴AC垂直平分BB'
∴BC=B'C
同理BC=BC'
∴BC'=CB'

（2）要使BCB'C'是菱形
根據(jù)菱形的性質(zhì)，對角線互相垂直平分
∵B′是點B關(guān)于直線AC的對稱點，C′是點C關(guān)于直線AB的對稱點
∴AC垂直平分BB'AB垂直平分CC'
∴BB'、CC'應該同時過A點
∴∠BAC=90°
∴只要AB⊥AC即可滿足要求，這樣的位置有無數(shù)個

（3）如圖，當A是BC的中點時，沒有形成四邊形
當A到BC的距離為

3

6

BC時
∵l是BC的垂直平分線
∴∠ACB=∠ABC=30°
∴∠BAC=120°
∴∠BOC=60°
∴BC=CB'=B'C'=BC'
∴BCB'C'為菱形
當BC的中點及到BC的距離為

3 BC

6

的點除外時
∵∠BOC=B'OC'OB=OC  OB'=OC'
∴∠OBC=∠OCB=∠OB'C'=∠OC'B'
∴BC∥B'C'
∵BC'不平行CB'BC'=CB'
四邊形BCB'C'為等腰梯形．

點評：本題可以很好的培養(yǎng)觀察推理能力，按照要求畫出圖形可以更清楚的解題．